Probabilitatea de a vă îmbunătăți rezultatul anterior. Sarcini pentru soluție independentă

, Codul de procedură penală al Federației Ruse din 18.1.rtf , Fundamentele legislației Federației Ruse privind protecția sănătății , CtEDO. Mecanism juridic de depunere a unei plângeri individuale și juridice .

Lecția 4. Teorema adunării probabilităților.

14.1. Scurtă parte teoretică

P( A+ÎN) = P( A)+P( B) - R( AB),

care se generalizează la suma oricărui număr de evenimente

Pentru evenimentele incompatibile, probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, adică .

24.2. Test

1. 
   În ce caz evenimentele A și B sunt numite incompatibile sau incompatibile?

b) Când cel puțin unul dintre aceste evenimente are loc în timpul testului

c) Când producerea în comun a acestor evenimente este imposibilă

d) Când ambele evenimente au loc în cursul experimentului

1. 
   Specificați evenimente care sunt compatibile.

b) Prezența aceluiași elev în același timp la o prelegere în clasă și la cinema

c) Debutul primăverii conform calendarului și ninsorile

d) Apariția pe fața aruncată a fiecăruia dintre cele două zaruri de trei puncte și egalitatea sumei punctelor de pe fețele aruncate ale ambelor zaruri la un număr impar

e) Afișarea unui meci de fotbal pe un canal de televiziune și a unui comunicat de presă pe altul

1. 
   Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile se formulează după cum urmează:

b) Probabilitatea de apariție a unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente

c) Probabilitatea de apariție a unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu diferența dintre probabilitățile de apariție a acestor evenimente

1. 
   Teorema de adunare pentru probabilitățile de evenimente comune este formulată după cum urmează:

b) Probabilitatea producerii a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea producerii lor comune.

c) Probabilitatea producerii a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente și probabilitatea producerii lor comune.

1. 
   Teorema de adunare a probabilității este generalizată la suma oricărui număr de evenimente, iar probabilitatea sumei evenimentelor în general este calculată prin formula:

1. 
   Dacă evenimentele sunt incompatibile, atunci probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu:

b)
V)

34.3. Rezolvarea sarcinilor tipice

CU, constând în faptul că un lot de o sută de produse, dintre care cinci sunt defecte, va fi acceptat la testarea aleatorie a unei jumătăți alese din întregul lot.

Notează prin A un eveniment constând în faptul că nu au fost primite produse defecte în timpul testului, și după ÎN- un eveniment constând în faptul că se primește un singur articol cu ​​defecte.

Deoarece С=А+В, atunci probabilitatea dorită P(C) = Р( A+B).

Evenimente AȘi ÎN incompatibil. Prin urmare P(C) = P( A)+ P( B).

Din cele 100 de produse, 50 pot fi selectate în diferite moduri. Din cele 95 de produse nedefecte, 50 pot fi selectate în moduri.

Prin urmare R( A)=.

În mod similar R( B)= .

P(C) = P( A)+ P( B)=+==0,181.
Exemplu 4.2. Circuit electric între puncte MȘi N compilat conform schemei prezentate în fig. 5.

Eșecul în timp T diferite elemente ale lanțului – evenimente independente cu următoarele probabilități (Tabelul 1).

tabelul 1

Element K 1 K 2 L 1 L 2 L 3 Probabilitate0,60,50,40,70,9 Determinați probabilitatea unei întreruperi de circuit într-un interval de timp specificat.
Soluţie.
Să luăm în considerare evenimentul CU, constând în faptul că pentru perioada de timp specificată va exista o rupere a lanțului.

Notează prin A j (j= 1,2) un eveniment constând în defectarea unui element LA j, prin A- defectarea a cel putin unui element LA j, și prin ÎN- defectarea tuturor celor trei elemente A i (i=1, 2, 3).

Apoi probabilitatea dorită

R( CU) = P( A + ÎN) = P( A) + P( ÎN) - R( A)R( B).

R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,

R( ÎN) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,

Acea.
Exemplu 4.3. Urna contine n alb, m negrii şi l bile roșii, care sunt extrase la întâmplare una câte una:

a) fără întoarcere

b) cu retur după fiecare extragere.

Determinați în ambele cazuri probabilitățile ca bila albă să fie extrasă înaintea celei negre.
Soluţie.

Lăsa R 1 este probabilitatea ca bila albă să fie extrasă înaintea celei negre și R 11 este probabilitatea ca bila neagră să fie extrasă înaintea celei albe.

Probabilitate R 1 este suma probabilităților de a extrage imediat o minge albă, după ce a extras una roșie, două roșii etc. Astfel, se poate scrie în cazul în care bilele nu sunt returnate,

iar când bilele se întorc

Pentru a obține probabilități R 11 în formulele anterioare, trebuie să înlocuiți n pe m, A m pe n. Rezultă că în ambele cazuri R 1 :R 11 = n:m. Deoarece, de altfel, R 1 +R 11 = 1, atunci probabilitatea dorită atunci când trageți bile fără înlocuire este, de asemenea, egală.
Exemplu 4.4. A scris cineva n scrisori, le-au sigilat în plicuri și apoi a scris la întâmplare o adresă diferită pe fiecare dintre ele. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre plicuri să aibă adresa corectă.
Soluţie.

Lasă evenimentul A k este aprins k-al-lea plic conține adresa corectă ( k=l, 2,..., n).

Probabilitatea dorită.

Evenimente A k comun; pentru orice diferit k, j, i, ... egalitățile sunt valabile:

Folosind formula pentru probabilitatea sumei n evenimente, primim

În mare n.

44.4. Sarcini pentru munca independentă

(Răspuns: p = 0,03)
4.2. Trăgătorul trage o singură lovitură către o țintă formată dintr-un cerc central și două inele concentrice. Probabilitățile de a lovi cercul și inelul sunt 0,20, 0,15 și, respectiv, 0,10. Determinați probabilitatea de a lovi ținta.

(Răspuns: p = 0,55)
4.3. Două monede identice de rază r situat în interiorul unui cerc de rază R, în care un punct este aruncat la întâmplare. Determinați probabilitatea ca acest punct să cadă pe una dintre monede dacă monedele nu se suprapun.

(Răspuns: p =)
4.4. Care este probabilitatea de a extrage o piesă din orice costum sau o carte de pică dintr-un pachet de 52 de cărți (o piesă se numește vale, regină sau rege)?

(Răspuns: p =)
4.5. Cutia contine 10 monede de 20 de copeici, 5 monede de 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. Șase monede sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca acestea să însumeze cel mult o rublă?

(Răspuns: p =)
4.6. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urne sunt 5 bile albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua 10, 8 și respectiv 6. Din ambele urne se extrage la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?

(Răspuns: p = 0,323)
4.7. joc între AȘi B se desfășoară în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, care face întotdeauna A, el poate câștiga cu o probabilitate de 0,3; dacă prima mișcare A nu câștigă, atunci se face mișcarea ÎNși poate câștiga cu o probabilitate de 0,5; dacă în urma acestei mişcări ÎN nu câștigă atunci A face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea lui cu o probabilitate de 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru A si pentru ÎN.

(Răspuns: = 0,44, = 0,35)
4.8. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este R. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească performanța într-o competiție dacă sunt permise două încercări.

(Răspuns: p(A) =)
4.9. Dintr-o urna care contine n bile numerotate de la 1 la n, se extrag două bile succesive, prima bilă fiind returnată dacă numărul ei nu este egal cu unul. Determinați probabilitatea ca mingea numărul 2 să fie extrasă la a doua extragere.

(Răspuns: p =)
4.10. Jucător A jucând alternativ cu jucătorii ÎNȘi CU, având o probabilitate de câștig în fiecare joc de 0,25 și oprește jocul după prima pierdere sau după două jocuri jucate cu fiecare jucător. Determinați probabilitatea de a câștiga ÎNȘi CU.

(Răspuns: )
4.11. Doi oameni aruncă pe rând o monedă. Cel cu stema primește câștigă. Determinați probabilitatea de a câștiga pentru fiecare dintre jucători.

(Răspuns: )
4.12. Probabilitatea de a obține un punct fără a pierde un serviciu, atunci când joci două echipe de volei echivalente, este jumătate. Determinați probabilitatea de a obține un punct pentru echipa care servește.

(Răspuns: p =)
4.13. Doi trăgători trag alternativ în țintă până la prima lovitură. Probabilitatea de lovire pentru primul trăgător este de 0,2, iar pentru al doilea trăgător este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca primul trăgător să tragă mai multe focuri decât al doilea.

(Răspuns: p = 0,455)
4.14. Doi joacă pentru a câștiga, iar pentru aceasta este necesar ca primul să câștige T partide, iar al doilea P petreceri. Probabilitatea de a câștiga fiecare joc de către primul jucător este egală cu R, iar al doilea q=1-R. Determinați probabilitatea de a câștiga întregul joc de către primul jucător.

(Răspuns: p(A) =)

4.1. Fiecare dintre cele patru evenimente incompatibile poate avea loc cu probabilități 0,012, 0,010, 0,006 și, respectiv, 0,002. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să aibă loc ca rezultat al experimentului.

(Răspuns: p = 0,03)

4.2. Trăgătorul trage o singură lovitură către o țintă formată dintr-un cerc central și două inele concentrice. Probabilitățile de a lovi cercul și inelul sunt 0,20, 0,15 și, respectiv, 0,10. Determinați probabilitatea de a lovi ținta.

(Răspuns: p = 0,55)

4.3. Două monede identice cu raza r sunt plasate în interiorul unui cerc cu raza R în care un punct este aruncat la întâmplare. Determinați probabilitatea ca acest punct să cadă pe una dintre monede dacă monedele nu se suprapun.

(Răspuns: p = )

4.4. Care este probabilitatea de a extrage o piesă din orice costum sau o carte de pică dintr-un pachet de 52 de cărți (o piesă se numește vale, regină sau rege)?

(Răspuns: p = )

4.5. Cutia contine 10 monede de 20 de copeici, 5 monede de 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. Șase monede sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca acestea să însumeze cel mult o rublă?

(Răspuns: p = )

4.6. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urne sunt 5 bile albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua 10, 8 și respectiv 6. Din ambele urne se extrage la întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?

(Răspuns: p = 0,323)

4.7. Jocul dintre A și B se joacă în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, pe care A o face întotdeauna, poate câștiga cu o probabilitate de 0,3; dacă A nu câștigă la prima mutare, atunci B face mutarea și poate câștiga cu o probabilitate de 0,5; dacă în urma acestei mișcări B nu câștigă, atunci A face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea lui cu o probabilitate de 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru A și B.

(Răspuns: = 0,44, = 0,35)

4.8. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este egală cu p. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească performanța într-o competiție dacă sunt permise două încercări.

(Răspuns: p(A) = )

4.9. Dintr-o urnă care conține n bile numerotate de la 1 la n, se extrag două bile succesive, prima bilă fiind returnată dacă numărul ei nu este egal cu unul. Determinați probabilitatea ca mingea cu numărul 2 să fie extrasă la a doua extragere.

(Răspuns: p = )

4.10. Jucătorul A alternează cu jucătorii B și C, cu o probabilitate de a câștiga fiecare set de 0,25, și oprește jocul după prima pierdere sau după două jocuri jucate cu fiecare jucător. Determinați probabilitățile de câștig B și C.

4.11. Doi oameni aruncă pe rând o monedă. Cel cu stema primește câștigă. Determinați probabilitatea de a câștiga pentru fiecare dintre jucători.

(Răspuns: )

4.12. Probabilitatea de a obține un punct fără a pierde un serviciu, atunci când joci două echipe de volei echivalente, este jumătate. Determinați probabilitatea de a obține un punct pentru echipa care servește.

(Răspuns: p = )

4.13. Doi trăgători trag alternativ în țintă până la prima lovitură. Probabilitatea de lovire pentru primul trăgător este de 0,2, iar pentru al doilea trăgător este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca primul trăgător să tragă mai multe focuri decât al doilea.

(Răspuns: p = 0,455)

4.14. Doi joacă până la victorie, iar pentru aceasta este necesar ca primul să câștige m jocuri, iar al doilea n jocuri. Probabilitatea de a câștiga fiecare joc de către primul jucător este p, iar al doilea este q=1-p. Determinați probabilitatea de a câștiga întregul joc de către primul jucător.

1. Prima cutie contine 2 bile albe si 10 negre; A doua cutie conține 8 bile albe și 4 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?

2. Prima cutie contine 2 bile albe si 10 negre; A doua cutie conține 8 bile albe și 4 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca o minge să fie albă și cealaltă neagră?

3. Într-o cutie sunt 6 bile albe și 8 negre. Două bile sunt scoase din cutie (fără a întoarce mingea scoasă în cutie). Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.

4. Trei trăgători trag independent la țintă. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,75, pentru al doilea - 0,8, pentru al treilea - 0,9. Determinați probabilitatea ca toate cele trei săgeți să lovească ținta în același timp; cel puțin un trăgător va lovi ținta.

5. În urnă sunt 9 bile albe și 1 neagră. Au fost scoase trei bile deodată. Care este probabilitatea ca toate bilele să fie albe?

6. Trage trei focuri la o țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca în urma acestor lovituri să se producă o singură lovitură.

7. Doi trăgători, pentru care probabilitățile de a lovi ținta sunt de 0,7 și, respectiv, 0,8, trag câte o lovitură. Determinați probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.

8. Probabilitatea ca o piesă realizată pe prima mașină să fie de primă clasă este 0,7.Dacă aceeași piesă este realizată pe a doua mașină, această probabilitate este 0,8. Pe prima mașină se fac două părți, pe a doua trei. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie de primă clasă.

9. Funcționarea dispozitivului s-a oprit din cauza defecțiunii unei lămpi din cinci . Căutarea acestei lămpi se realizează prin înlocuirea fiecărei lămpi cu una nouă pe rând. Determinați probabilitatea pe care trebuie să o verificați 2 lămpi, dacă probabilitatea de defectare a fiecărei lămpi este p = 0,2 .

10. Pe site AB Există 12 obstacole pentru un motociclist de curse, probabilitatea de a opri la fiecare dintre ele este de 0,1. Probabilitatea ca din item ÎN până la destinația finală CU motociclistul va trece fără oprire, este egal cu 0,7. Determinați probabilitatea ca aria AC nu va exista nicio oprire.

11. Pe drumul mașinii sunt 4 semafoare. Probabilitatea de a te opri la primele două este 0,3, iar următoarele două sunt 0,4. Care este probabilitatea de a trece pe lângă semafoare fără oprire?

12. Pe drumul mașinii sunt 3 semafoare. Probabilitatea de a te opri la primele două este de 0,4, iar la a treia de 0,5. Care este probabilitatea de a trece de semafoare cu o oprire?

13. Două servere de rețea de pe Internet sunt expuse riscului unui atac de virus pe zi, cu o probabilitate de 0,3. Care este probabilitatea ca în 2 zile să nu fi fost un singur atac asupra lor?

14. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru un trăgător dat este de 2/3. Dacă o lovitură este înregistrată la prima lovitură, atunci trăgătorul primește dreptul la a doua. Dacă la al doilea lovește din nou, atunci trage a treia oară. Care este probabilitatea de a lovi cu trei lovituri?

15. Joc între AȘi ÎN se joacă în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, care face întotdeauna A, poate câștiga cu o probabilitate de 0,3; dacă prima mișcare A nu câștigă, atunci se face mișcarea ÎNși poate câștiga cu o probabilitate de 0,5; dacă în urma acestei mişcări ÎN nu câștigă atunci A face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea lui cu o probabilitate de 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru A si pentru ÎN.

16. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este de 0,2 . Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească performanța într-o competiție dacă sunt permise două încercări.

17. Jucător A joacă alternativ două jocuri cu jucătorii ÎNȘi CU. Probabilitățile de a câștiga primul joc pentru ÎNȘi CU sunt egale cu 0,1 și, respectiv, 0,2; probabilitatea de a câștiga în al doilea joc pt ÎN este 0,3, pentru CU este egal cu 0,4. Determinați probabilitatea ca: a) B să câștige primul; b) să câștige primul CU.

18. Dintr-o urna ce contine P bile numerotate de la 1 la n, se extrag două bile succesive, prima fiind returnată dacă numărul ei nu este egal cu unul. Determinați probabilitatea ca mingea cu numărul 2 să fie extrasă la a doua extragere.

19. Jucător A joacă alternativ cu jucătorii B și C, cu o probabilitate de câștig în fiecare set de 0,25 și oprește jocul după prima victorie sau după două jocuri pierdute cu oricare dintre jucători. Determinați probabilitățile de câștig B și C.

20. Două persoane aruncă pe rând o monedă. Cel care câștigă. care va apărea mai întâi stema. Determinați probabilitatea de a câștiga pentru fiecare dintre jucători.

21. Într-o urnă sunt 8 bile albe și 6 negre. Doi jucători trag câte o minge succesiv, returnând de fiecare dată mingea extrasă. Jocul continuă până când unul dintre ei primește o minge albă. Determinați probabilitatea ca jucătorul care începe jocul să extragă primul o minge albă.

22. S-a trimis un curier pentru documente în 4 arhive. Probabilitatea prezenței documentelor necesare în arhiva I-a este de 0,9; în II - 0,95; în III-em - 0,8; în IV - ohm - 0,6. Aflați probabilitatea P absenței unui document într-o singură arhivă.

23. Aflați probabilitatea ca două dintre cele trei elemente care funcționează independent ale dispozitivului de calcul să eșueze dacă probabilitatea de defectare a primului, al doilea și, respectiv, al treilea element este 0,3, 0,5, 0,4.

24. Într-o cușcă sunt 8 șoareci albi și 4 gri. Trei șoareci sunt selectați aleatoriu pentru testarea de laborator și nu sunt returnați. Găsiți probabilitatea ca toți cei trei șoareci să fie albi.

25. Într-o cușcă sunt 8 cobai. Trei dintre ei suferă de o încălcare a schimbului de săruri minerale. Trei animale sunt luate consecutiv fără întoarcere. Care este probabilitatea ca acestea să fie sănătoase?

26. Iazul contine 12 carasi, 18 platica si 10 crapi. Am prins trei pești. Găsiți probabilitatea ca doi crap și caras să fi fost prinși succesiv.

27. În turmă sunt 12 vaci, 4 dintre ele sunt din rasa Simmental, restul sunt din rasa Hallstein-Friest. Pentru munca de selecție au fost selectate trei animale. Găsiți probabilitatea ca toate trei să fie rase Simmental.

28. La hipodrom sunt 10 cai dafin, 3 gri si 7 albi. Pentru cursă au fost selectați aleatoriu 2 cai. Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe un cal alb?

29. În canisa sunt 9 câini, 3 dintre ei sunt collie, 2 sunt boxeri, restul sunt câini. Trei câini sunt selectați aleatoriu. Care este probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin un boxer?

30. Descendența medie a animalelor este de 4. Apariția indivizilor femele și masculi este la fel de probabilă. Găsiți probabilitatea ca descendenții să fie doi masculi.

31. Pachetul contine seminte a caror germinatie este de 0,85. Probabilitatea ca planta să înflorească este de 0,9. Care este probabilitatea ca o plantă crescută dintr-o sămânță aleasă aleatoriu să înflorească?

32. Pachetul conține semințe de fasole, a căror viteză de germinare este de 0,9. Probabilitatea ca florile de fasole să fie roșii este de 0,3. Care este probabilitatea ca o plantă dintr-o sămânță aleasă aleatoriu să aibă flori roșii?

33. Probabilitatea ca o persoană aleasă aleatoriu să fie spitalizată în luna următoare este de 0,01. Care este probabilitatea ca din trei persoane alese aleatoriu pe stradă, exact una să fie internată în spital în luna următoare?

34. O lăptăriță servește 4 vaci. Probabilitatea de a face mastită în timpul lunii pentru prima vacă este de 0,1, pentru a doua - 0,2, pentru a treia - 0,2, pentru a patra - 0,15. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o vacă să facă mastită într-o lună.

35. Patru vânători au fost de acord să tragă pe rând în joc. Următorul vânător trage o lovitură numai dacă precedentul ratează. Probabilitățile de a lovi ținta de către fiecare dintre vânători sunt aceleași și egale cu 0,8. Găsiți probabilitatea ca trei focuri să fie trase.

36. Un student studiază chimia, matematica și biologia. El estimează că probabilitățile de a obține „excelent” în aceste cursuri sunt de 0,5, 0,3 și, respectiv, 0,4. Presupunând că notele la aceste cursuri sunt independente, găsiți probabilitatea ca el să nu primească note „excelent”.

37. Elevul cunoaște 20 din cele 25 de întrebări ale programului. Care este probabilitatea ca el să cunoască toate cele trei întrebări ale programului pe care i-a dat-o examinatorul?

38. Doi vânători împușcă într-un lup și fiecare face câte o lovitură. Probabilitățile de a lovi ținta de către primul și al doilea vânător sunt 0,7 și, respectiv, 0,8. Care este probabilitatea de a lovi un lup cu cel puțin o lovitură?

39. Probabilitatea de a lovi ținta cu trei lovituri cel puțin o dată pentru un trăgător este de 0,875. Găsiți probabilitatea de a lovi cu o lovitură.

40. Vacile foarte productive sunt selectate din efectiv. Probabilitatea ca un animal selectat aleatoriu să fie foarte productiv este de 0,2. Găsiți probabilitatea ca doar două din trei vaci selectate să fie foarte productive.

41. In prima cusca sunt 3 iepuri albi si 4 gri, in a doua cusca sunt 7 iepuri albi si 5 negri. Un iepure a fost luat la întâmplare din fiecare cușcă. Care este probabilitatea ca ambii iepuri să fie albi?

42. Eficacitatea a două vaccinuri a fost studiată la un grup de animale. Ambele vaccinuri pot provoca alergie la animale cu probabilități egale de 0,2. Găsiți probabilitatea ca vaccinurile să nu provoace o alergie.

43. În familie sunt trei copii. Presupunând că evenimentele constând în nașterea unui băiat și a unei fete sunt la fel de probabile, găsiți probabilitatea ca toți copiii din familie să fie de același sex.

44. Probabilitatea de a stabili un strat de zăpadă stabil într-o zonă dată din octombrie este de 0,1. Determinați probabilitatea ca în următorii trei ani în această zonă să se stabilească cel puțin o dată din octombrie un strat de zăpadă stabil.

45. Determinați probabilitatea ca un produs ales la întâmplare să fie de primă clasă, dacă se știe că 4% din toate produsele sunt defecte, iar 75% dintre produsele nedefecte îndeplinesc cerințele clasei I.

46. ​​​​Doi trăgători, pentru care probabilitățile de a lovi ținta sunt de 0,7 și, respectiv, 0,8, trag câte o lovitură. Determinați probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.

47. Probabilitatea ca un eveniment să se producă în fiecare experiment este aceeași și egală cu 0,2. Experimentele sunt efectuate secvenţial până când apare evenimentul. Determinați probabilitatea ca un al patrulea experiment să fie efectuat.

48. Probabilitatea ca piesa realizată la prima mașină să fie de primă clasă este de 0,7. La fabricarea aceleiași piese pe a doua mașină, această probabilitate este de 0,8. Pe prima mașină se fac două părți, pe a doua trei. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie de primă clasă.

49. O întrerupere a circuitului electric poate apărea atunci când un element sau două elemente defectează și care defectează independent unul de celălalt, respectiv, cu probabilități de 0,3; 0,2 și 0,2. Determinați probabilitatea întreruperii circuitului electric.

50. Funcționarea dispozitivului s-a oprit din cauza defecțiunii unei lămpi din 10. Căutarea acestei lămpi se realizează prin înlocuirea fiecărei lămpi cu una nouă pe rând. Determinați probabilitatea ca 7 lămpi să fie verificate dacă probabilitatea de defecțiune a fiecărei lămpi este de 0,1.

51. Probabilitatea ca tensiunea din circuitul electric să depășească valoarea nominală este de 0,3. La o tensiune crescută, probabilitatea unui accident al dispozitivului - consumatorul de curent electric este de 0,8. Determinați probabilitatea defecțiunii dispozitivului din cauza creșterii tensiunii.

52. Probabilitatea de a lovi prima țintă pentru un anumit trăgător este de 2/3. Dacă o lovitură este înregistrată în timpul primei lovituri, atunci trăgătorul are dreptul de a trage în altă țintă. Probabilitatea de a lovi ambele ținte cu două lovituri este de 0,5. Determinați probabilitatea de a lovi a doua țintă.

53. Cu ajutorul a șase cărți, pe care este scrisă o literă, este compus cuvântul „căruță”. Cărțile sunt amestecate și apoi extrase aleatoriu una câte una. Care este probabilitatea ca cuvântul „rachetă” să se formeze în ordinea literelor?

54. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon și, prin urmare, o formează la întâmplare. Determinați probabilitatea ca acesta să fie nevoit să cheme cel mult trei locuri.

55. Fiecare dintre cele patru evenimente incompatibile poate avea loc, respectiv, cu probabilități de 0,012; 0,010; 0,006 și 0,002. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să se producă ca rezultat al experimentului.

56. Care este probabilitatea de a extrage dintr-un pachet de 52 de cărți o bucată din orice costum sau o carte de pică (o piesă se numește vale, regină sau rege)?

57. Într-o cutie sunt 10 monede a câte 20 de copeici, câte 5 monede a câte 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. 6 monede sunt luate la întâmplare. Care este probabilitatea ca acestea să însumeze cel mult o rublă?

58. Sunt bile în două urne: în primele 5 albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua 10, 8 și respectiv 6. Din ambele urne se extrage la întâmplare o minge. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?

59. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este de 0,4. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească performanța într-o competiție dacă sunt permise două încercări.

Opțiunea 9

1. Pe fiecare dintre cele 6 cărți identice este imprimată una dintre următoarele litere: o, g, o, p, o, d. Cărțile sunt bine amestecate. Găsiți probabilitatea ca, așezându-le într-un rând, să se poată citi cuvântul „grădină”.

2. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior dintr-o încercare este de 0,6. Determinați probabilitatea ca într-o competiție un sportiv să-și îmbunătățească rezultatul dacă sunt permise 2 încercări.

3. Prima cutie conține 20 de părți, 15 dintre ele sunt standard; în a doua - 30 de părți, dintre care 24 sunt standard; în a treia - 10 părți, dintre care 6 sunt standard. Găsiți probabilitatea ca o parte aleasă aleatoriu dintr-o cutie luată aleatoriu să fie una standard.

4. Rezolvați probleme folosind formula Bernoulli și teorema Moivre-Laplace: a) la transmiterea unui mesaj, probabilitatea de distorsiune a 1 semn este 0,24. Determinați probabilitatea ca un mesaj de 10 caractere să nu conțină mai mult de 3 distorsiuni;

b) s-au plantat 400 de arbori. Probabilitatea ca un arbore individual să supraviețuiască este de 0,8. Aflați probabilitatea ca numărul de copaci supraviețuitori: 1) să fie egal cu 300; 2) mai mult de 310, dar mai puțin de 330.

5. Folosind date tabelare, calculați așteptarea matematică, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare X și, de asemenea, determinați probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare mai mare decât cea așteptată.

6. O variabilă aleatoare continuă X este dată de funcția de distribuție

Aflați: a) parametrul k ; b) așteptarea matematică; c) dispersie.

7. Organizația sociologică realizează un sondaj asupra angajaților întreprinderii pentru a clarifica atitudinea acestora față de reorganizarea structurală efectuată de conducerea întreprinderii. Presupunând că proporția de oameni mulțumiți de transformări structurale este descrisă de o lege de distribuție normală cu parametrii a = 53,1% și σ = 3,9%, găsiți probabilitatea ca proporția de oameni mulțumiți de transformări să fie sub 50%.

8. Din populația generală a fost extras un eșantion, care este prezentat sub forma unei serii de variații de interval (vezi tabel): a) presupunând că populația generală are o distribuție normală, construiți un interval de încredere pentru așteptarea matematică cu o încredere probabilitate γ = 0,95; b) calculați coeficienții de asimetrie și curtoză folosind o metodă simplificată și faceți ipoteze adecvate cu privire la forma funcției de distribuție a populației; c) folosind testul Pearson, testați ipoteza normalității distribuției populației generale la un nivel de semnificație de α = 0,05.

9. Se oferă un tabel de corelare a valorilor X și Y: a) se calculează coeficientul de corelație r xy , se trage concluzii despre relația dintre X și Y; b) găsiți ecuațiile de regresie liniară X pe Y și Y pe X și trasați graficele lor.