Імовірність покращити свій попередній результат. Завдання для самостійного вирішення

, Кримінально-процесуальний кодекс Російської Федерації від 18.1.rtf, Основи законодавства Російської Федерації про охорону здоров'я, ЄСПЛ. Правовий механізм подання індивідуальної скарги та правові.

4. Теорема складання ймовірностей.

14.1. Коротка теоретична частина

P( A+У) = Р( A)+Р( B) - Р( AB),

яка узагальнюється на суму будь-якої кількості подій

Для несумісних подій можливість суми подій дорівнює сумі можливостей цих обставин, т. е. .

24.2. Тест

1. 
   У якому випадку події А та В називаються несумісними чи несумісними?

б) Коли хоча б одна з цих подій відбудеться під час випробування

в) Коли спільна поява цих подій неможлива

г) Коли обидві ці події відбудуться у ході досвіду

1. 
   Вкажіть події, які сумісні.

б) Присутність одного і того ж студента одночасно на лекції в аудиторії та в кінотеатрі

в) Настання весни за календарем та випадання снігу

г) Поява на межі кожної з двох гральних кісток трьох очок і рівність суми очок на гранях обох кісток, що випали, непарному числу

д) Показ по одному каналу телебачення футбольного матчу, а по іншому – випуску новин

1. 
   Теорема складання ймовірностей несумісних подій формулюється так:

б) Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

в) Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює різниці ймовірностей появи цих подій

1. 
   Теорема складання ймовірностей спільних подій формулюється так:

б) Імовірність появи хоча б однієї з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їхньої спільної появи

в) Імовірність появи хоча б однієї з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій та ймовірності їхньої спільної появи

1. 
   Теорема складання ймовірностей узагальнюється на суму будь-якого числа подій та ймовірність суми подій у загальному вигляді обчислюється за формулою:

1. 
   Якщо події є несумісними, то ймовірність суми цих подій дорівнює:

б)
в)

34.3. Вирішення типових завдань

З, Що полягає в тому, що партія зі ста виробів, серед яких п'ять бракованих, буде прийнята при випробуванні на удачу обраної половини всієї партії.

Позначимо через Аподія, яка полягає в тому, що при випробуванні не отримано жодного бракованого виробу, а через У- подія, яка полягає в тому, що отримано лише один бракований виріб.

Оскільки С=А+В, то ймовірність P(C) = Р( А+B).

Події Аі Унесумісні. Тому P(C) = Р( А)+ Р( B).

Зі 100 виробів 50 можна вибрати способами. З 95 небракованих виробів 50 можна обрати способами.

Тому Р( A)=.

Аналогічно Р( B)= .

P(C) = Р( А)+ Р( B)=+==0,181.
приклад 4.2. Електричний ланцюг між точками Мі Nскладено за схемою, наведеною на рис. 5.

Вихід з ладу за час Трізних елементів ланцюга - незалежні події, що мають такі ймовірності (табл. 1).

Таблиця 1

Елемент K 1 K 2 Л 1 Л 2 Л 3 Ймовірність0,60,50,40,70,9Визначити ймовірність розриву ланцюга за вказаний проміжок часу.
Рішення.
Введемо на розгляд подію Зщо полягає в тому, що за вказаний проміжок часу буде розрив ланцюга.

Позначимо через A j (j= 1,2) подія, що складається у виході з ладу елемента До j, через А- Вихід з ладу хоча б одного елемента До j, а через У- Вихід з ладу всіх трьох елементів А i (i=1, 2, 3).

Тоді шукана ймовірність

Р( З) = Р( A + У) = Р( A) + Р( У) - Р( A)Р( B).

Р( A) = Р( A 1 ) + Р( A 2 ) - Р( A 1 )Р( A 2 ) = 0,8,

Р( У) = Р( Л 1 )Р( Л 2 ) Р( Л 3 ) = 0,252,

те.
приклад 4.3. У урні є nбілих, mчорних та lчервоних куль, які витягуються навмання по одному:

а) без повернення;

б) із поверненням після кожного вилучення.

Визначити в обох випадках ймовірність того, що біла куля буде витягнута раніше за чорну.
Рішення.

Нехай Р 1 - ймовірність того, що біла куля буде витягнута раніше чорного, а Р 11 - ймовірність того, що чорна куля буде витягнута раніше за білу.

Ймовірність Р 1 є сумою ймовірностей вилучення білої кулі відразу, після вилучення однієї червоної, двох червоних і т. д. Таким чином, можна записати у разі, коли кулі не повертаються,

а при поверненні куль

Для отримання ймовірностей Р 11 у попередніх формулах потрібно зробити заміну nна m, а mна n. Звідси випливає, що в обох випадках Р 1 :Р 11 = n:m. Оскільки, крім того, Р 1 +Р 11 = 1, то шукана ймовірність при вилученні куль без повернення також дорівнює.
приклад 4.4. Хтось написав nлистів, запечатав їх у конверти, а потім навмання на кожному з них написав різні адреси. Визначити ймовірність того, що хоча б на одному з конвертів написано правильну адресу.
Рішення.

Нехай подія A kполягає в тому, що на k-м конверті написана правильна адреса ( k= l, 2,..., n).

Шукана ймовірність.

Події A kспільні; за будь-яких різних k, j, i, ... мають місце рівності:

Використовуючи формулу для ймовірності суми nподій, отримуємо

При великих n.

44.4. Завдання для самостійної роботи

(Відповідь: p = 0,03)
4.2. Стрілець робить один постріл в мішень, що складається з центрального кола і двох концентричних кілець. Імовірності влучення в коло та кільця відповідно дорівнюють 0,20, 0,15 та 0,10. Визначити можливість непопадання на мету.

(Відповідь: p = 0,55)
4.3. Дві однакові монети радіусу rрозташовані всередині кола радіусу R, в який навмання кидається крапка. Визначити ймовірність того, що ця точка впаде на одну із монет, якщо монети не перекриваються.

(Відповідь: p =)
4.4. Яка можливість витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама чи король)?

(Відповідь: p =)
4.5. У ящику є 10 монет з 20 коп., 5 монет з 15 коп. та 2 монети по 10 коп. Навмання беруться шість монет. Яка ймовірність, що в сумі вони становитимуть не більше одного рубля?

(Відповідь: p =)
4.6. У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?

(Відповідь: p = 0,323)
4.7. Гра між Aі Bведеться на таких умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить Авін може виграти з ймовірністю 0,3; якщо першим ходом Aне виграє, то хід робить Уі може виграти із ймовірністю 0,5; якщо внаслідок цього ходу Уне виграє, то Aробить другий хід, який може призвести до виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірність виграшу для Аі для У.

(Відповідь: = 0,44, = 0,35)
4.8. Імовірність для даного спортсмена покращити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює р. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен покращить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.

(Відповідь: p(А) =)
4.9. З урни, що містить nкуль з номерами від 1 до n, послідовно витягуються дві кулі, причому перший шар повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде вилучена при другому витягуванні.

(Відповідь: p =)
4.10. Гравець Апо черзі грає із гравцями Уі З, маючи ймовірність виграшу у кожній партії 0,25, та припиняє гру після першого програшу або після двох партій, зіграних з кожним гравцем. Визначити ймовірність виграшу Уі З.

(Відповідь: )
4.11. Двоє кидають монету. Виграє той, у якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірність виграшу для кожного гравця.

(Відповідь: )
4.12. Імовірність отримати очко, не втрачаючи подачі, при грі двох рівносильних волейбольних команд дорівнює половині. Визначити ймовірність отримання одного очка для команди, що подає.

(Відповідь: p =)
4.13. Два стрільці по черзі стріляють по мішені до першого влучення. Імовірність влучення для першого стрілка дорівнює 0,2, а другого дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що перший стрілець зробить більше пострілів, аніж другий.

(Відповідь: p = 0,455)
4.14. Двоє грають до перемоги, причому для цього потрібно першому виграти тпартій, а другому ппартій. Імовірність виграшу кожної партії першим гравцем дорівнює р, а другим q=1-р. Визначити можливість виграшу всієї гри першим гравцем.

(Відповідь: p(A) =)

4.1. Кожна з чотирьох несумісних подій може статися відповідно до ймовірностей 0,012, 0,010, 0,006 і 0,002. Визначити ймовірність того, що в результаті досвіду відбудеться хоча б одна з цих подій.

(Відповідь: p = 0,03)

4.2. Стрілець робить один постріл в мішень, що складається з центрального кола і двох концентричних кілець. Імовірності влучення в коло та кільця відповідно дорівнюють 0,20, 0,15 та 0,10. Визначити можливість непопадання на мету.

(Відповідь: p = 0,55)

4.3. Дві однакові монети радіуса r розташовані всередині кола радіуса R, який навмання кидається точка. Визначити ймовірність того, що ця точка впаде на одну із монет, якщо монети не перекриваються.

(Відповідь: p = )

4.4. Яка можливість витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама чи король)?

(Відповідь: p = )

4.5. У ящику є 10 монет з 20 коп., 5 монет з 15 коп. та 2 монети по 10 коп. Навмання беруться шість монет. Яка ймовірність, що в сумі вони становитимуть не більше одного рубля?

(Відповідь: p = )

4.6. У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?

(Відповідь: p = 0,323)

4.7. Гра між A та B ведеться на наступних умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить А, він може виграти з ймовірністю 0,3; якщо першим ходом A не виграє, то хід робить і може виграти з ймовірністю 0,5; якщо в результаті цього ходу не виграє, то A робить другий хід, який може призвести до його виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірність виграшу для А та для В.

(Відповідь: = 0,44, = 0,35)

4.8. Імовірність для даного спортсмена покращити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює р. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен покращить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.

(Відповідь: p(А) = )

4.9. З урни, що містить n куль з номерами від 1 до n, послідовно витягуються дві кулі, причому перший шар повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде вилучена під час другого вилучення.

(Відповідь: p = )

4.10. Гравець А по черзі грає з гравцями В і С, маючи ймовірність виграшу в кожній партії 0,25, та припиняє гру після першого програшу або після двох партій, зіграних з кожним гравцем. Визначити ймовірність виграшу В та С.

4.11. Двоє кидають монету. Виграє той, у якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірність виграшу для кожного гравця.

(Відповідь: )

4.12. Імовірність отримати очко, не втрачаючи подачі, при грі двох рівносильних волейбольних команд дорівнює половині. Визначити ймовірність отримання одного очка для команди, що подає.

(Відповідь: p = )

4.13. Два стрільці по черзі стріляють по мішені до першого влучення. Імовірність влучення для першого стрілка дорівнює 0,2, а другого дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що перший стрілець зробить більше пострілів, аніж другий.

(Відповідь: p = 0,455)

4.14. Двоє грають до перемоги, причому для цього необхідно першому виграти партій, а другому партій. Імовірність виграшу кожної партії першим гравцем дорівнює р, а другим q=1-р. Визначити можливість виграшу всієї гри першим гравцем.

1. У першому ящику 2 білих та 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорні кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі білі?

2. У першому ящику 2 білих та 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорні кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що одна куля біла, а інша чорна?

3. У ящику 6 білих та 8 чорних куль. З ящика вийняли дві кулі (не повертаючи вийняту кулю в ящик). Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

4. Три стрілки незалежно один від одного стріляють по меті. Імовірність влучення у ціль для першого стрілка дорівнює 0,75, для другого – 0,8, для третього – 0,9. Визначити ймовірність того, що всі три стрілки одночасно попадуть у ціль; у ціль потрапить хоча б один стрілець.

5. У урні 9 білих та 1 чорна куля. Вийняли одразу три кулі. Яка ймовірність того, що всі кульки білі?

6. Виробляють три постріли по одній мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що внаслідок цих пострілів відбудеться лише одне влучення.

7. Два стрілки, котрим ймовірності влучення у мету рівні відповідно 0,7 і 0,8, виробляють по одному пострілу. Визначити можливість хоча б одного попадання на ціль.

8. Імовірність того, що виготовлена ​​на першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7. При виготовленні такої ж деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому три. Знайти ймовірність того, що всі деталі є першосортними.

9. Робота приладу припинилася внаслідок виходу з експлуатації однієї лампи з п'яти . Знаходження цієї лампи здійснюється шляхом почергової заміни кожної нової лампи. Визначити ймовірність того, що доведеться перевіряти 2 лампи, якщо можливість виходу з ладу кожної лампи дорівнює р=0,2 .

10. На ділянці АВдля мотоцикліста-гонщика є 12 перешкод, ймовірність зупинки на кожному з яких дорівнює 0,1. Імовірність того, що від пункту Удо кінцевого пункту Змотоцикліст проїде без зупинки, що дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що на ділянці АСне буде жодної зупинки.

11. На шляху автомобіля 4 світлофори. Імовірність зупинитися на перших двох 0,3, але в наступних двох 0,4. Яка можливість проїхати світлофори без зупинок?

12. На шляху автомобіля 3 світлофори. Імовірність зупинитися на перших двох 0,4, але в третьому 0,5. Яка можливість проїхати світлофори з однією зупинкою?

13. Два сервери мережі в Інтернет наражаються на небезпеку вірусної атаки за добу з ймовірністю 0,3. Яка ймовірність, що за 2 доби на них не було жодної атаки?

14. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі для даного стрілка дорівнює 2/3, Якщо за першого пострілі зафіксовано попадання, то стрілок отримує право другого. Якщо за другого він знову потрапить, то стріляє втретє. Яка можливість потрапити при трьох пострілах?

15. Гра між Аі Уведеться на таких умовах: в результаті першого ходу, який завжди робить А,він може виграти із ймовірністю 0,3; якщо першим ходом Ане виграє, то хід робить Уі може виграти із ймовірністю 0,5; якщо внаслідок цього ходу Уне виграє, то Аробить другий хід, який може призвести до виграшу з ймовірністю 0,4. Визначити ймовірність виграшу для Аі для Ст.

16. Імовірність для даного спортсмена покращити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює 0,2 . Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен покращить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.

17. Гравець Апо черзі грає дві партії з гравцями Уі З.Імовірності виграшу першої партії для Уі Зрівні 0,1 та 0,2 відповідно; ймовірність виграти у другій партії для Удорівнює 0,3, для Здорівнює 0,4. Визначити ймовірність того, що: а) першим виграє; б) першим виграє З.

18. З урни, що містить пкуль з номерами від 1 до n, послідовно витягуються дві кулі, причому перший повертається, якщо його номер не дорівнює одиниці. Визначити ймовірність того, що куля з номером 2 буде вилучена під час другого вилучення.

19. Гравець Апо черзі грає з гравцями В і С, маючи ймовірність виграшу в кожній партії 0,25, і припиняє гру після першого виграшу або після двох партій, які програли з будь-якого з гравців. Визначити ймовірність виграшу В та С.

20. Двоє кидають монету. Виграє той, у. якого раніше з'явиться герб. Визначити ймовірність виграшу для кожного гравця.

21. У урні є 8 білих і 6 чорних куль. Два гравці послідовно дістають по одній кулі, повертаючи щоразу вилучену кулю. Гра триває доти, поки хтось із них не дістане білу кулю. Визначити ймовірність того, що першим витягне білу кулю гравець, який починає гру.

22. Посланий кур'єр за документами до 4 архівів. Ймовірність наявності необхідних документа в I-ом архіві - 0,9; у другому - 0,95; в III-му - 0,8; у IV - му - 0,6. Знайти ймовірність відсутності документа тільки в одному архіві.

23. Знайти ймовірність того, що відмовлять два з трьох незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою, якщо ймовірність відмови першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,3, 0,5, 0,4.

24. У клітці 8 білих та 4 сірі миші. Для лабораторного дослідження випадково відбирають три миші, не повертаючи назад. Знайти ймовірність того, що всі три миші білі.

25. У клітці 8 морських свинок. Три з них страждають на порушення обміну мінеральних солей. Послідовно без повернення дістають трьох тварин. Яка ймовірність, що вони здорові?

26. У ставку містяться 12 карасів, 18 лящів та 10 коропів. Виловили три риби. Знайти ймовірність того, що виловили послідовно двох коропів та карася.

27. У стаді 12 корів, їх 4 – симментальської породи, інші – галштино-фризтской породы. Для селекційної роботи відібрали трьох тварин. Знайти ймовірність того, що серед них усі три симентальські породи.

28. На іподромі містяться 10 гнідих коней, 3 – сірих у яблуко та 7 білих. Для забігу випадково відібрано 2 коня. Яка ймовірність того, що серед них немає білого коня?

29. У розпліднику містяться 9 собак, з них 3 коллі, 2 боксери, решта – доги. Випадково відбирають трьох собак. Якою є ймовірність того, що серед них хоча б один боксер?

30. Середній приплід тварин дорівнює 4. Поява особин жіночої та чоловічої статі рівноймовірна. Знайти ймовірність того, що у приплоді дві особи чоловічої статі.

31. У пакеті знаходиться насіння, схожість якого дорівнює 0,85. Імовірність того, що рослина зацвіте, дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що рослина, що виросла з навмання взятого насіння, зацвіте?

32. У пакеті знаходиться насіння бобів, схожість якого дорівнює 0,9. Імовірність того, що квіти бобів будуть червоного кольору, дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що рослина з вибраного навмання насіння матиме червоні квіти?

33. Імовірність того, що випадково обрана людина протягом наступного місяця потрапить до лікарні, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що з трьох випадково обраних на вулиці людей протягом наступного місяця точно буде покладено в лікарню?

34. Доярка обслуговує 4 корови. Імовірність захворіти на мастит протягом місяця для першої корови дорівнює 0,1, для другої – 0,2, для третьої – 0,2, для четвертої 0,15. Знайти ймовірність того, що протягом місяця хоча б одна корова захворіє на мастит.

35. Чотири мисливці домовилися стріляти по дичині по черзі. Наступний мисливець робить постріл лише у разі промаху попереднього. Імовірності влучення в ціль кожним мисливцям однакові й рівні 0,8. Знайти ймовірність того, що буде зроблено три постріли.

36. Студент вивчає хімію, математику та біологію. Він оцінює, що можливість отримати «відмінно» за цими курсами рівні відповідно 0,5, 0,3 і 0,4. У припущенні, що оцінки за цими курсами є незалежними, знайти ймовірність того, що він не отримає жодної оцінки «відмінно».

37. Студент знає 20 із 25 питань програми. Якою є ймовірність того, що він знає всі три питання програми, запропоновані йому екзаменатором?

38. Два мисливці стріляють у вовка, причому кожен робить по одному пострілу. Імовірність влучення в ціль першим і другим мисливцем дорівнює відповідно 0,7 і 0,8. Яка ймовірність попадання у вовка хоча б за одного пострілу?

39. Імовірність влучення в мішень при трьох пострілах хоча б раз для деякого стрілка дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі.

40. Зі стада відбирають високопродуктивних корів. Імовірність того, що випадково відібрана тварина виявиться високопродуктивною, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що з трьох відібраних корів лише дві будуть високопродуктивними.

41. У першій клітині 3 білих та 4 сірих кролика, у другій клітині 7 білих та 5 чорних кроликів. З кожної клітини навмання взяли по одному кролику. Яка ймовірність того, що обидва кролики білі?

42. Вивчалася ефективність двох вакцин групи тварин. Обидві вакцини можуть викликати алергію у тварин із рівними ймовірностями 0,2. Знайти ймовірність того, що вакцини не спричинять алергію.

43. У сім'ї троє дітей. Приймаючи події, які перебувають у народженні хлопчика і дівчинки рівноймовірними, знайти ймовірність того, що в сім'ї всі діти однієї статі.

44. Імовірність встановлення у цій території стійкого снігового покриву з жовтня дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що протягом найближчих трьох років у цій місцевості стійкий сніговий покрив з жовтня встановиться принаймні один раз.

45. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання виріб є першосортним, якщо відомо, що 4% усієї продукції є шлюбом, а 75% небракованих виробів задовольняють вимоги першого сорту.

46. ​​Два стрілки, котрим ймовірності влучення у мету рівні відповідно 0,7 і 0,8 , роблять по одному пострілу. Визначити можливість хоча б одного попадання на ціль.

47. Імовірність настання події у кожному досвіді однакова і дорівнює 0,2. Досліди проводяться послідовно до настання події. Визначити ймовірність того, що доведеться робити четвертий досвід.

48. Імовірність того, що виготовлена ​​на першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7. При виготовленні такої деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому три. Знайти ймовірність того, що всі деталі є першосортними.

49. Розрив електричного ланцюга може статися при виході з ладу елемента або двох елементів і , які виходять з ладу незалежно один від одного відповідно до ймовірностей 0,3; 0,2 та 0,2. Визначити можливість розриву електричного ланцюга.

50. Робота приладу припинилася внаслідок виходу з експлуатації однієї лампи з 10-ти. Знаходження цієї лампи здійснюється шляхом почергової заміни кожної нової лампи. Визначити можливість того, що доведеться перевірити 7 ламп, якщо можливість виходу з ладу кожної лампи дорівнює 0,1.

51. Імовірність того, що в електричному ланцюзі напруга перевищить номінальне значення, дорівнює 0,3. При підвищеній напрузі ймовірність аварії приладу споживача електричного струму дорівнює 0,8. Визначити можливість аварії приладу внаслідок підвищення напруги.

52. Можливість попадання на першу мету даного стрілка дорівнює 2/3. Якщо при першому пострілі зафіксовано попадання, то стрілець отримує право на постріл по іншій мішені. Імовірність поразки обох мішеней при двох пострілах дорівнює 0,5. Визначити ймовірність ураження другої мішені.

53. За допомогою шести карток, на яких написано по одній літері, складено слово "карета". Картки перемішуються, а потім навмання витягуються по одній. Якою є ймовірність, що в порядку надходження літер утворюється слово «ракета»?

54. Абонент забув останню цифру номера телефону і тому набирає її навмання. Визначити ймовірність того, що йому доведеться дзвонити не більше ніж у три місця.

55. Кожна з чотирьох несумісних подій може статися відповідно до ймовірностей 0,012; 0,010; 0,006 та 0,002. Визначити ймовірність того, що в результаті досвіду відбудеться хоча б одна з цих подій.

56. Яка можливість витягти з колоди в 52 карти фігуру будь-якої масті або карту пікової масті (фігурою називається валет, дама чи король)?

57. У ящику є 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. та 2 монети по 10 коп. Навмання беруться 6 монет. Яка ймовірність, що в сумі вони становитимуть не більше одного рубля?

58. У двох урнах знаходяться кулі: у першій 5 білих, 11 чорних і 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8 і 6. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі одного кольору?

59. Імовірність для даного спортсмена покращити свій попередній результат з однієї спроби дорівнює 0,4. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен покращить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.

Варіант 9

1. На кожній із 6 однакових карток надруковано одну з наступних літер: о, г, о, р, о, д. Картки ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що, розташувавши їх у ряд, можна буде прочитати слово "город".

2. Імовірність для даного спортсмена покращити свій попередній результат із 1 спроби дорівнює 0,6. Визначити ймовірність того, що на змаганнях спортсмен покращить свій результат, якщо дозволяється робити дві спроби.

3. У першому ящику міститься 20 деталей, їх 15 стандартних; у другому – 30 деталей, з них 24 стандартних; у третьому – 10 деталей, з них 6 стандартних. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута деталь з навмання взятого ящика - стандартна.

4. Розв'язати задачі, використовуючи формулу Бернуллі та теореми Муавра-Лапласа: а) при передачі повідомлення ймовірність спотворення 1 знака дорівнює 0,24. Визначити ймовірність того, що повідомлення із 10 знаків містить не більше 3 спотворень;

б) було посаджено 400 дерев. Імовірність того, що окреме дерево приживеться, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що кількість дерев, що прижилися: 1) дорівнює 300; 2) більше за 310, але менше за 330.

5. За табличними даними обчислити математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X, а також визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення більшого за очікуване.

6. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу

Знайти: а) параметр k; б) математичне очікування; в) дисперсію.

7. Соціологічна організація проводить опитування працівників підприємства з метою з'ясування ставлення до структурної реорганізації, проведеної керівництвом підприємства. Вважаючи, частка людей, задоволених структурними перетвореннями, описується нормальним законом розподілу з параметрами a = 53,1 % і σ = 3,9 %, знайти ймовірність те, що частка людей, задоволених перетвореннями, буде нижче 50 %.

8. З генеральної сукупності вилучено вибірку, яка представлена ​​у вигляді інтервального варіаційного ряду (див. таблицю): а) припускаючи, що генеральна сукупність має нормальний розподіл, побудувати довірчий інтервал для математичного очікування з довірчою ймовірністю γ = 0,95; б) обчислити коефіцієнти асиметрії та ексцесу, використовуючи спрощений метод, та зробити відповідні припущення про вид функції розподілу генеральної сукупності; в) використовуючи критерій Пірсона, перевірити гіпотезу про нормальність розподілу генеральної сукупності за рівня значущості α = 0,05.

9. Задано кореляційну таблицю величин X і Y: а) обчислити коефіцієнт кореляції r xy , зробити висновки про зв'язок між X і Y; б) знайти рівняння лінійної регресії X на Y та Y на X, а також побудувати їх графіки.