तुमचा पूर्वीचा निकाल सुधारण्याची शक्यता. स्वतंत्रपणे सोडवण्याच्या समस्या

, 18.1.rtf वरून रशियन फेडरेशनचा फौजदारी प्रक्रिया संहिता, आरोग्य सेवेवरील रशियन फेडरेशनच्या कायद्याची मूलभूत तत्त्वे, ECHR. वैयक्तिक तक्रार दाखल करण्यासाठी कायदेशीर यंत्रणा आणि कायदेशीर.

धडा 4. संभाव्यता जोडण्याचे प्रमेय.

१४.१. थोडक्यात सैद्धांतिक भाग

P( ए+IN) = P( ए)+पी( बी) - आर( एबी),

जे कोणत्याही संख्येच्या घटनांच्या बेरजेवर सामान्यीकरण करते

विसंगत घटनांसाठी, घटनांच्या बेरजेची संभाव्यता या घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरजेइतकी असते, म्हणजे.

२४.२. चाचणी

1. 
   कोणत्या बाबतीत अ आणि ब घटनांना असंगत किंवा असंगत म्हणतात?

b) चाचणी दरम्यान यापैकी किमान एक घटना घडते तेव्हा

c) जेव्हा या घटनांची संयुक्त घटना अशक्य असते

ड) जेव्हा या दोन्ही घटना प्रयोगादरम्यान घडतात

1. 
   सुसंगत घटना निर्दिष्ट करा.

b) वर्गात आणि सिनेमात व्याख्यानात एकाच वेळी एकाच विद्यार्थ्याची उपस्थिती

c) कॅलेंडर आणि हिमवर्षावानुसार वसंत ऋतुची सुरुवात

ड) दोन फास्यांच्या प्रत्येक बाजूला सोडलेल्या तीन बिंदूंचे स्वरूप आणि दोन्ही फास्यांच्या सोडलेल्या बाजूंच्या बिंदूंच्या बेरजेची विषम संख्येची समानता

e) एका दूरचित्रवाणी वाहिनीवर फुटबॉल सामना दाखवणे आणि दुसऱ्यावर प्रसारित होणारी बातमी

1. 
   विसंगत घटनांच्या संभाव्यता जोडण्यासाठी प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केला आहे:

b) दोन विसंगत घटनांपैकी एक घडण्याची संभाव्यता या घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरजेइतकी आहे

c) दोन विसंगत घटनांपैकी एक घडण्याची संभाव्यता या घटना घडण्याच्या संभाव्यतेतील फरकाइतकीच आहे

1. 
   संयुक्त घटनांच्या संभाव्यता जोडण्यासाठी प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केला आहे:

ब) दोन संयुक्त घटनांपैकी किमान एक घडण्याची संभाव्यता या घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरजेइतकी आहे त्यांच्या संयुक्त घटनेच्या संभाव्यतेशिवाय

c) दोन संयुक्त घटनांपैकी किमान एक घडण्याची संभाव्यता या घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरीज आणि त्यांच्या संयुक्त घटनांच्या संभाव्यतेइतकी आहे.

1. 
   संभाव्यतेचे अतिरिक्त प्रमेय कोणत्याही संख्येच्या घटनांच्या बेरजेसाठी सामान्यीकृत केले जाते आणि सामान्य स्वरूपातील घटनांच्या बेरजेची संभाव्यता सूत्रानुसार मोजली जाते:

1. 
   जर घटना विसंगत असतील, तर या घटनांच्या बेरजेची संभाव्यता समान आहे:

ब)
V)

३४.३. ठराविक समस्या सोडवणे

सह, संपूर्ण बॅचच्या यादृच्छिकपणे निवडलेल्या अर्ध्या भागाची चाचणी करताना पाच सदोष उत्पादनांसह शंभर उत्पादनांची बॅच स्वीकारली जाईल.

द्वारे सूचित करूया एचाचणी दरम्यान एकही दोषपूर्ण उत्पादन प्राप्त झाले नाही या वस्तुस्थितीचा समावेश असलेली घटना IN- केवळ एक सदोष उत्पादन प्राप्त झाल्याची घटना.

C=A+B असल्याने, इच्छित संभाव्यता P(C) = P( ए+बी).

कार्यक्रम एआणि INविसंगत. म्हणून P(C) = P( ए)+ पी( बी).

100 उत्पादनांपैकी, 50 वेगवेगळ्या प्रकारे निवडल्या जाऊ शकतात. 95 दोष नसलेल्या उत्पादनांपैकी, 50 पद्धती वापरून निवडल्या जाऊ शकतात.

म्हणून पी( ए)=.

P सारखे बी)= .

P(C) = P( ए)+ पी( बी)=+==0,181.
उदाहरण 4.2. पॉइंट्स दरम्यान इलेक्ट्रिकल सर्किट एमआणि एनअंजीर मध्ये दर्शविलेल्या आकृतीनुसार संकलित. ५.

कालांतराने अपयश टसाखळीचे विविध घटक - खालील संभाव्यतेसह स्वतंत्र घटना (सारणी 1).

तक्ता 1

घटक के 1 के 2 एल 1 एल 2 एल 3 संभाव्यता0,60,50,40,70,9 विशिष्ट कालावधीसाठी सर्किट ब्रेकची संभाव्यता निश्चित करा.
उपाय.
कार्यक्रमाची ओळख करून देऊ सह, निर्दिष्ट कालावधीत सर्किटमध्ये ब्रेक होईल या वस्तुस्थितीसह.

द्वारे सूचित करूया ए j (j= 1.2) घटकाच्या अपयशाचा समावेश असलेली घटना TO j, माध्यमातून ए- कमीतकमी एका घटकाची अपयश TO j, आणि माध्यमातून IN- तिन्ही घटकांचे अपयश ए i (i=1, 2, 3).

मग इच्छित संभाव्यता

आर( सह) = P( ए + IN) = P( ए) + पी( IN) - आर( ए)आर( बी).

आर( ए) = P( ए 1 ) + पी( ए 2 ) - आर( ए 1 )आर( ए 2 ) = 0,8,

आर( IN) = P( एल 1 )आर( एल 2 ) आर( एल 3 ) = 0,252,

ते.
उदाहरण 4.3. कलशाचा समावेश आहे nपांढरा, मीकाळा आणि lलाल गोळे, जे एका वेळी एक यादृच्छिकपणे काढले जातात:

अ) परतावा न देता;

b) प्रत्येक उतारा नंतर परतावा सह.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, काळ्याच्या आधी पांढरा चेंडू काढला जाईल याची संभाव्यता निश्चित करा.
उपाय.

द्या आर 1 काळ्याच्या आधी पांढरा चेंडू काढला जाण्याची शक्यता आहे, आणि आर 11 - पांढऱ्याच्या आधी काळा बॉल काढला जाण्याची शक्यता.

संभाव्यता आर 1 एक लाल, दोन लाल इत्यादी काढल्यानंतर लगेच पांढरा बॉल काढण्याच्या संभाव्यतेची बेरीज आहे. अशा प्रकारे, जेव्हा गोळे परत येत नाहीत तेव्हा आपण लिहू शकतो,

आणि जेव्हा गोळे परत येतात

संभाव्यता प्राप्त करण्यासाठी आर 11 मागील सूत्रांमध्ये तुम्हाला बदली करणे आवश्यक आहे nवर मी, ए मीवर n. हे दोन्ही प्रकरणांमध्ये खालीलप्रमाणे आहे आर 1 :आर 11 = n:मी. पासून, याव्यतिरिक्त, आर 1 +आर 11 = 1, नंतर परत न येता चेंडू काढताना आवश्यक संभाव्यता देखील समान आहे.
उदाहरण 4.4. कुणीतरी लिहिले nपत्रे, त्यांना लिफाफ्यांमध्ये सीलबंद केले आणि नंतर यादृच्छिकपणे त्या प्रत्येकावर वेगवेगळे पत्ते लिहिले. कमीतकमी एका लिफाफ्यावर योग्य पत्ता लिहिलेला आहे याची संभाव्यता निश्चित करा.
उपाय.

कार्यक्रम होऊ द्या ए kते चालू आहे k- लिफाफ्यात योग्य पत्ता आहे ( k= l, 2,..., n).

इच्छित संभाव्यता.

कार्यक्रम ए kसंयुक्त; कोणत्याही भिन्न साठी k, j, i, ... खालील समानता धारण करतात:

बेरीजच्या संभाव्यतेसाठी सूत्र वापरणे nघटना, आम्हाला मिळते

मोठ्या प्रमाणात n.

४४.४. स्वतंत्र कार्यासाठी कार्ये

(उत्तर द्या: p = ०.०३)
४.२. नेमबाज मध्यवर्ती वर्तुळ आणि दोन केंद्रित रिंग असलेल्या लक्ष्यावर एक शॉट मारतो. वर्तुळ आणि रिंग मारण्याच्या संभाव्यता अनुक्रमे 0.20, 0.15 आणि 0.10 आहेत. लक्ष्य गमावण्याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p = ०.५५)
४.३. दोन समान त्रिज्या नाणी आरत्रिज्या वर्तुळात स्थित आर, ज्यामध्ये एक बिंदू यादृच्छिकपणे टाकला जातो. नाणी ओव्हरलॅप होत नसल्यास हा बिंदू नाण्यांपैकी एका नाण्यावर पडेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p =)
४.४. 52 कार्ड्सच्या डेकमधून कोणत्याही सूटची आकृती किंवा हुकुमचे कार्ड काढण्याची संभाव्यता किती आहे (आकृतीला जॅक, राणी किंवा राजा म्हणतात)?

(उत्तर द्या: p =)
४.५. बॉक्समध्ये 20 कोपेक्सची 10 नाणी, 15 कोपेक्सची 5 नाणी आहेत. आणि 10 कोपेक्सची 2 नाणी. यादृच्छिकपणे सहा नाणी घेतली जातात. एकूण एक रूबलपेक्षा जास्त नसण्याची संभाव्यता काय आहे?

(उत्तर द्या: p =)
४.६. दोन कलशांमध्ये फक्त रंग भिन्न असलेले गोळे असतात आणि पहिल्या कलशात 5 पांढरे, 11 काळे आणि 8 लाल असतात आणि दुसऱ्या कलशात अनुक्रमे 10, 8 आणि 6 असतात. दोन्ही कलशांमधून एक चेंडू यादृच्छिकपणे काढला जातो. . दोन्ही चेंडू एकाच रंगाचे असण्याची शक्यता किती आहे?

(उत्तर द्या: p = ०.३२३)
४.७. दरम्यान खेळ एआणि बीखालील परिस्थितींमध्ये चालते: पहिल्या हालचालीचा परिणाम म्हणून, जे नेहमी करते ए, तो संभाव्यता 0.3 ने जिंकू शकतो; जर पहिली चाल एजिंकत नाही, मग एक हालचाल करते INआणि संभाव्यता 0.5 ने जिंकू शकतो; जर या हालचालीचा परिणाम म्हणून INजिंकत नाही, मग एदुसरी हालचाल करते, ज्यामुळे ०.४ संभाव्यतेसह त्याचा विजय होऊ शकतो. साठी जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा एआणि साठी IN.

(उत्तर द्या: = 0,44, = 0,35)
४.८. दिलेल्या ॲथलीटला त्याचा मागील निकाल एका प्रयत्नात सुधारण्याची शक्यता आहे आर. दोन प्रयत्नांना परवानगी दिल्यास एखाद्या ऍथलीटने स्पर्धेमध्ये त्याचा निकाल सुधारेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p(A) =)
४.९. असलेल्या कलशातून n 1 ते संख्या असलेले बॉल n, दोन चेंडू अनुक्रमे काढले जातात, जर त्याची संख्या एक नसेल तर पहिला चेंडू परत केला जातो. बॉल क्रमांक 2 दुसऱ्यांदा काढला जाईल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p =)
४.१०. खेळाडू एखेळाडूंसोबत खेळताना वळण घेते INआणि सह, 0.25 च्या प्रत्येक गेममध्ये जिंकण्याची शक्यता असते आणि पहिल्या पराभवानंतर किंवा प्रत्येक खेळाडूसोबत खेळलेल्या दोन गेमनंतर गेम थांबवतो. जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा INआणि सह.

(उत्तर द्या: )
४.११. दोन लोक एक नाणे फेकताना वळण घेतात. ज्याला प्रथम अंगरखा मिळेल तो जिंकतो. प्रत्येक खेळाडूसाठी जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: )
४.१२. जेव्हा दोन समान व्हॉलीबॉल संघ खेळतात तेव्हा सर्व्ह न गमावता गुण मिळण्याची शक्यता अर्ध्या बरोबर असते. सेवा देणाऱ्या संघाला एक गुण मिळण्याची शक्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p =)
४.१३. पहिला हिट होईपर्यंत दोन नेमबाज वळण घेत लक्ष्यावर शूटिंग करतात. पहिल्या शूटरसाठी हिटची संभाव्यता 0.2 आहे आणि दुसऱ्यासाठी ती 0.3 आहे. पहिला शूटर दुसऱ्यापेक्षा जास्त शॉट्स मारेल याची संभाव्यता शोधा.

(उत्तर द्या: p = ०.४५५)
४.१४. विजय मिळेपर्यंत दोन खेळाडू खेळतात आणि त्यासाठी पहिला खेळाडू जिंकला पाहिजे टपक्ष आणि दुसरा पीपक्ष प्रत्येक गेम जिंकणाऱ्या पहिल्या खेळाडूची संभाव्यता आहे आर, आणि दुसरा q=1-आर. संपूर्ण गेम जिंकणाऱ्या पहिल्या खेळाडूची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर द्या: p(A) =)

४.१. चार विसंगत घटनांपैकी प्रत्येक अनुक्रमे 0.012, 0.010, 0.006 आणि 0.002 च्या संभाव्यतेसह येऊ शकतात. प्रयोगाच्या परिणामी यापैकी किमान एक घटना घडण्याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p = 0.03)

४.२. नेमबाज मध्यवर्ती वर्तुळ आणि दोन केंद्रित रिंग असलेल्या लक्ष्यावर एक शॉट मारतो. वर्तुळ आणि रिंग मारण्याच्या संभाव्यता अनुक्रमे 0.20, 0.15 आणि 0.10 आहेत. लक्ष्य गमावण्याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p = 0.55)

४.३. त्रिज्या r ची दोन समान नाणी त्रिज्या R च्या वर्तुळात स्थित आहेत ज्यामध्ये एक बिंदू यादृच्छिकपणे टाकला जातो. नाणी ओव्हरलॅप होत नसल्यास हा बिंदू नाण्यांपैकी एका नाण्यावर पडेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p = )

४.४. 52 कार्ड्सच्या डेकमधून कोणत्याही सूटची आकृती किंवा हुकुमचे कार्ड काढण्याची संभाव्यता किती आहे (आकृतीला जॅक, राणी किंवा राजा म्हणतात)?

(उत्तर: p = )

४.५. बॉक्समध्ये 20 कोपेक्सची 10 नाणी, 15 कोपेक्सची 5 नाणी आहेत. आणि 10 कोपेक्सची 2 नाणी. यादृच्छिकपणे सहा नाणी घेतली जातात. एकूण एक रूबलपेक्षा जास्त नसण्याची संभाव्यता काय आहे?

(उत्तर: p = )

४.६. दोन कलशांमध्ये फक्त रंग भिन्न असलेले गोळे असतात आणि पहिल्या कलशात 5 पांढरे, 11 काळे आणि 8 लाल असतात आणि दुसऱ्या कलशात अनुक्रमे 10, 8 आणि 6 असतात. दोन्ही कलशांमधून एक चेंडू यादृच्छिकपणे काढला जातो. . दोन्ही चेंडू एकाच रंगाचे असण्याची शक्यता किती आहे?

(उत्तर: p = 0.323)

४.७. A आणि B मधील खेळ खालील परिस्थितींमध्ये खेळला जातो: पहिल्या हालचालीचा परिणाम म्हणून, A नेहमी करतो, तो संभाव्यता 0.3 ने जिंकू शकतो; जर A पहिल्या चालीने जिंकला नाही, तर B चाल करतो आणि संभाव्यता 0.5 ने जिंकू शकतो; जर या हालचालीचा परिणाम म्हणून B जिंकला नाही, तर A दुसरी चाल करतो, ज्यामुळे 0.4 संभाव्यतेसह त्याचा विजय होऊ शकतो. A आणि B साठी जिंकण्याच्या संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: = 0,44, = 0,35)

४.८. दिलेल्या ॲथलीटने एका प्रयत्नात त्याचा मागील निकाल सुधारण्याची संभाव्यता p च्या बरोबरीची आहे. दोन प्रयत्नांना परवानगी दिल्यास एखाद्या ऍथलीटने स्पर्धेमध्ये त्याचा निकाल सुधारेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p(A) = )

४.९. 1 ते n पर्यंतच्या संख्येसह n चेंडू असलेल्या कलशातून, दोन चेंडू अनुक्रमे काढले जातात, जर त्याची संख्या एक बरोबर नसेल तर पहिला चेंडू परत केला जातो. बॉल क्रमांक 2 दुसऱ्यांदा काढला जाईल याची संभाव्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p = )

४.१०. खेळाडू A 0.25 च्या प्रत्येक गेममध्ये जिंकण्याची संभाव्यता असलेला B आणि C या खेळाडूंसोबत आळीपाळीने खेळतो आणि पहिल्या पराभवानंतर किंवा प्रत्येक खेळाडूसोबत खेळलेल्या दोन गेमनंतर खेळणे थांबवतो. B आणि C जिंकण्याच्या संभाव्यता निश्चित करा.

४.११. दोन लोक एक नाणे फेकताना वळण घेतात. ज्याला प्रथम अंगरखा मिळेल तो जिंकतो. प्रत्येक खेळाडूसाठी जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा.

(उत्तर: )

४.१२. जेव्हा दोन समान व्हॉलीबॉल संघ खेळतात तेव्हा सर्व्ह न गमावता गुण मिळण्याची शक्यता अर्ध्या बरोबर असते. सेवा देणाऱ्या संघाला एक गुण मिळण्याची शक्यता निश्चित करा.

(उत्तर: p = )

४.१३. पहिला हिट होईपर्यंत दोन नेमबाज वळण घेत लक्ष्यावर शूटिंग करतात. पहिल्या शूटरसाठी हिटची संभाव्यता 0.2 आहे आणि दुसऱ्यासाठी ती 0.3 आहे. पहिला शूटर दुसऱ्यापेक्षा जास्त शॉट्स मारेल याची संभाव्यता शोधा.

(उत्तर: p = 0.455)

४.१४. विजय मिळेपर्यंत दोन खेळाडू खेळतात आणि त्यासाठी प्रथम m गेम जिंकणे आवश्यक आहे आणि दुसरे n गेम. पहिल्या खेळाडूची प्रत्येक गेम जिंकण्याची संभाव्यता p आहे आणि दुसरा q=1-p. संपूर्ण गेम जिंकणाऱ्या पहिल्या खेळाडूची संभाव्यता निश्चित करा.

1. पहिल्या बॉक्समध्ये 2 पांढरे आणि 10 काळे गोळे आहेत; दुसऱ्या बॉक्समध्ये 8 पांढरे आणि 4 काळे गोळे आहेत. प्रत्येक बॉक्समधून एक चेंडू घेण्यात आला. दोन्ही गोळे पांढरे असण्याची शक्यता किती आहे?

2. पहिल्या बॉक्समध्ये 2 पांढरे आणि 10 काळे गोळे आहेत; दुसऱ्या बॉक्समध्ये 8 पांढरे आणि 4 काळे गोळे आहेत. प्रत्येक बॉक्समधून एक चेंडू घेण्यात आला. एक चेंडू पांढरा आणि दुसरा काळा असण्याची शक्यता किती आहे?

3. एका बॉक्समध्ये 6 पांढरे आणि 8 काळे गोळे असतात. बॉक्समधून दोन गोळे काढले जातात (काढलेला चेंडू बॉक्समध्ये परत न करता). दोन्ही गोळे पांढरे असण्याची शक्यता शोधा.

4. तीन नेमबाज एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे लक्ष्यावर गोळीबार करतात. पहिल्या शूटरसाठी लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता 0.75 आहे, दुसऱ्यासाठी - 0.8, तिसऱ्यासाठी - 0.9. तिन्ही नेमबाज एकाच वेळी लक्ष्यावर जातील याची संभाव्यता निश्चित करा; किमान एक नेमबाज लक्ष्यावर जाईल.

5. कलशात 9 पांढरे आणि 1 काळे गोळे आहेत. एकाच वेळी तीन चेंडू काढण्यात आले. सर्व गोळे पांढरे असण्याची शक्यता किती आहे?

6. एका लक्ष्यावर तीन शॉट्स फायर करा. प्रत्येक शॉट मारण्याची संभाव्यता 0.5 आहे. या शॉट्समुळे फक्त एक हिट होण्याची शक्यता शोधा.

7. दोन नेमबाज, ज्यांच्यासाठी लक्ष्य गाठण्याची शक्यता अनुक्रमे 0.7 आणि 0.8 आहे, प्रत्येकी एक शॉट मारला. लक्ष्यावर किमान एक हिट होण्याची शक्यता निश्चित करा.

8. पहिल्या मशीनवर तयार केलेला भाग प्रथम श्रेणीचा असेल याची संभाव्यता 0.7 आहे. जेव्हा तोच भाग दुसऱ्या मशीनवर तयार केला जातो तेव्हा ही संभाव्यता 0.8 असते. पहिल्या मशीनने दोन भाग तयार केले, दुसरे तीन. सर्व भाग प्रथम श्रेणीचे आहेत याची संभाव्यता शोधा.

9. पाचपैकी एक दिवा निकामी झाल्यामुळे उपकरणाचे कार्य थांबले . हा दिवा शोधणे प्रत्येक दिवा बदलून नवीन दिवा लावून केले जाते. तुम्हाला तपासावे लागेल याची शक्यता निश्चित करा 2 दिवे, जर प्रत्येक दिवा अयशस्वी होण्याची संभाव्यता p = 0.2 असेल .

10. साइटवर एबीमोटारसायकलस्वार-रेसरसाठी 12 अडथळे आहेत, त्या प्रत्येकावर थांबण्याची संभाव्यता 0.1 आहे. बिंदू पासून संभाव्यता INअंतिम गंतव्यापर्यंत सहमोटारसायकलस्वार न थांबता प्रवास करेल, ०.७ च्या बरोबरीने. साइटवर संभाव्यता निश्चित करा एसीएकही थांबा नसेल.

11. कारच्या मार्गावर 4 ट्रॅफिक लाइट आहेत. पहिल्या दोनवर थांबण्याची संभाव्यता ०.३ आणि पुढील दोनवर ०.४ आहे. ट्रॅफिक लाइटमधून न थांबता वाहन चालवण्याची संभाव्यता किती आहे?

12. कारच्या मार्गावर 3 ट्रॅफिक लाइट आहेत. पहिल्या दोनवर थांबण्याची शक्यता ०.४ आणि तिसऱ्यावर ०.५ आहे. एका स्टॉपसह ट्रॅफिक लाइट पास करण्याची संभाव्यता किती आहे?

13. दोन इंटरनेट सर्व्हर 0.3 च्या संभाव्यतेसह प्रतिदिन व्हायरस हल्ल्याच्या जोखमीच्या संपर्कात आहेत. 2 दिवसात त्यांच्यावर एकही हल्ला झाला नाही याची शक्यता किती आहे?

14. दिलेल्या शूटरसाठी एका शॉटने लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता 2/3 आहे. जर पहिल्या शॉटवर हिटची नोंद झाली असेल, तर शूटर दुसऱ्या शॉटसाठी पात्र आहे. जर तो दुसऱ्यांदा पुन्हा मारला तर तो तिसऱ्यांदा शूट करतो. तीन शॉट्स मारण्याची संभाव्यता किती आहे?

15. दरम्यान खेळ एआणि INखालील परिस्थितींमध्ये चालते: पहिल्या हालचालीचा परिणाम म्हणून, जे नेहमी करते अ,तो संभाव्यता 0.3 ने जिंकू शकतो; जर पहिली चाल एजिंकत नाही, मग एक हालचाल करते INआणि संभाव्यता 0.5 ने जिंकू शकतो; जर या हालचालीचा परिणाम म्हणून INजिंकत नाही, मग एदुसरी हालचाल करते, ज्यामुळे ०.४ संभाव्यतेसह त्याचा विजय होऊ शकतो. साठी जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा एआणि साठी IN.

16. दिलेल्या ॲथलीटने एका प्रयत्नात मागील निकाल सुधारण्याची शक्यता 0.2 आहे . दोन प्रयत्नांना परवानगी दिल्यास एखाद्या ऍथलीटने स्पर्धेमध्ये त्याचा निकाल सुधारेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

17. खेळाडू एपर्यायाने खेळाडूंसोबत दोन गेम खेळतो INआणि सह.साठी पहिला गेम जिंकण्याची शक्यता INआणि सहअनुक्रमे 0.1 आणि 0.2 च्या समान; साठी दुसऱ्या गेममध्ये जिंकण्याची शक्यता INसाठी 0.3 च्या बरोबरीचे आहे सह 0.4 च्या बरोबरीचे. संभाव्यता निश्चित करा की: अ) ब प्रथम जिंकेल; b) जिंकणारा पहिला असेल सह.

18. असलेल्या कलशातून पी 1 ते संख्या असलेले बॉल n, दोन चेंडू अनुक्रमे काढले जातात, जर त्याची संख्या एक बरोबर नसेल तर पहिला परत येतो. बॉल क्रमांक 2 दुसऱ्यांदा काढला जाईल याची संभाव्यता निश्चित करा.

19. खेळाडू ए 0.25 च्या प्रत्येक गेममध्ये जिंकण्याची संभाव्यता असलेल्या B आणि C या खेळाडूंसोबत वैकल्पिकरित्या खेळतो आणि पहिल्या विजयानंतर किंवा कोणत्याही खेळाडूसह दोन गेम गमावल्यानंतर गेम थांबवतो. B आणि C जिंकण्याच्या संभाव्यता निश्चित करा.

20. दोन लोक एक नाणे फेकताना वळण घेतात. जो जिंकतो तोच असतो. ज्याचा अंगरखा प्रथम दिसेल. प्रत्येक खेळाडूसाठी जिंकण्याची शक्यता निश्चित करा.

21. कलशात 8 पांढरे आणि 6 काळे गोळे असतात. प्रत्येक वेळी काढलेला चेंडू परत करून दोन खेळाडू लागोपाठ एक चेंडू काढतात. त्यापैकी एकाला पांढरा चेंडू मिळेपर्यंत खेळ सुरूच राहतो. गेम सुरू करणारा खेळाडू पांढरा चेंडू काढणारा पहिला असेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

22. 4 अभिलेखागारांकडून कागदपत्रे गोळा करण्यासाठी कुरिअर पाठवण्यात आले. I-th आर्काइव्हमध्ये आवश्यक कागदपत्रे असण्याची शक्यता 0.9 आहे; II मध्ये - 0.95; III मध्ये - 0.8; IV मध्ये - 0.6. केवळ एका संग्रहणात दस्तऐवजाच्या अनुपस्थितीची संभाव्यता P शोधा.

23. प्रथम, द्वितीय आणि तृतीय घटकांच्या अपयशाची संभाव्यता अनुक्रमे 0.3, 0.5, 0.4 असल्यास संगणकीय उपकरणाच्या तीनपैकी दोन स्वतंत्रपणे कार्यरत घटक अयशस्वी होतील याची संभाव्यता शोधा.

24. एका पिंजऱ्यात 8 पांढरे आणि 4 राखाडी उंदीर असतात. प्रयोगशाळेच्या चाचणीसाठी तीन उंदीर यादृच्छिकपणे निवडले जातात आणि परत आले नाहीत. तिन्ही उंदीर पांढरे असण्याची शक्यता शोधा.

25. एका पिंजऱ्यात 8 गिनीपिग असतात. त्यापैकी तीन खनिज क्षारांच्या चयापचयच्या उल्लंघनामुळे ग्रस्त आहेत. न परतता लागोपाठ तीन जनावरे बाहेर काढली जातात. ते निरोगी असण्याची शक्यता किती आहे?

26. तलावामध्ये 12 क्रूशियन कार्प, 18 ब्रीम आणि 10 कार्प आहेत. तीन मासे पकडले. तुम्ही लागोपाठ दोन कार्प आणि एक क्रूशियन कार्प पकडल्याची संभाव्यता शोधा.

27. कळपात 12 गायी आहेत, त्यापैकी 4 सिमेंटल जातीच्या आहेत, बाकीच्या गॅलस्टीन-फ्रीजियन जाती आहेत. प्रजनन कार्यासाठी तीन जनावरांची निवड करण्यात आली. या तिन्ही सिमेंटल जाती आहेत याची संभाव्यता शोधा.

28. हिप्पोड्रोममध्ये 10 बे घोडे, 3 डॅपल ग्रे आणि 7 पांढरे आहेत. शर्यतीसाठी यादृच्छिकपणे 2 घोडे निवडले गेले. त्यांच्यामध्ये पांढरा घोडा नसण्याची शक्यता किती आहे?

29. कुत्र्यामध्ये 9 कुत्रे आहेत, त्यापैकी 3 कोली आहेत, 2 बॉक्सर आहेत, बाकीचे ग्रेट डेन्स आहेत. तीन कुत्रे यादृच्छिकपणे निवडले आहेत. त्यापैकी किमान एक बॉक्सर असण्याची शक्यता किती आहे?

30. प्राण्यांची सरासरी संतती 4 आहे. मादी आणि पुरुष व्यक्तींचे स्वरूप समान संभाव्य आहे. संततीमध्ये दोन पुरुष असण्याची शक्यता शोधा.

31. पिशवीत बिया असतात ज्यांचा उगवण दर 0.85 आहे. वनस्पती फुलण्याची शक्यता 0.9 आहे. यादृच्छिक बियाण्यापासून उगवलेली वनस्पती फुलण्याची शक्यता किती आहे?

32. पिशवीमध्ये बीन बिया असतात, ज्याचा उगवण दर 0.9 आहे. बीनची फुले लाल होण्याची शक्यता 0.3 आहे. यादृच्छिकपणे निवडलेल्या बियाण्यातील वनस्पतीला लाल फुले येण्याची शक्यता किती आहे?

33. यादृच्छिकपणे निवडलेल्या व्यक्तीला पुढील महिन्यात रुग्णालयात दाखल केले जाण्याची शक्यता 0.01 आहे. रस्त्यावर यादृच्छिकपणे निवडलेल्या तीन लोकांपैकी एकाला पुढील महिन्यात रुग्णालयात दाखल केले जाण्याची शक्यता किती आहे?

34. एक दूधदासी 4 गायींची सेवा करते. पहिल्या गायीला एका महिन्याच्या आत स्तनदाह होण्याची शक्यता 0.1, दुसऱ्यासाठी - 0.2, तिसऱ्यासाठी - 0.2, चौथ्यासाठी - 0.15 आहे. एका महिन्याच्या आत किमान एका गायीला स्तनदाह होण्याची शक्यता शोधा.

35. चार शिकारी गेममध्ये वळण घेण्यास सहमत झाले. मागचा शिकारी चुकला तरच पुढचा शिकारी शॉट मारतो. लक्ष्य गाठणाऱ्या प्रत्येक शिकारीची संभाव्यता समान आणि 0.8 च्या समान आहे. तीन शॉट्स फायर केले जातील अशी शक्यता शोधा.

36. एक विद्यार्थी रसायनशास्त्र, गणित आणि जीवशास्त्र शिकत आहे. त्यांचा अंदाज आहे की या अभ्यासक्रमांमध्ये ए मिळण्याची शक्यता अनुक्रमे ०.५, ०.३ आणि ०.४ आहे. या अभ्यासक्रमांमधील ग्रेड स्वतंत्र आहेत असे गृहीत धरून, त्याला एकही "उत्कृष्ट" ग्रेड मिळणार नाही याची शक्यता शोधा.

37. विद्यार्थ्याला कार्यक्रमातील 25 पैकी 20 प्रश्न माहित आहेत. परीक्षकाने त्याला प्रस्तावित केलेल्या कार्यक्रमाचे तीनही प्रश्न त्याला माहीत असण्याची शक्यता किती आहे?

38. दोन शिकारी एका लांडग्यावर गोळी झाडतात, प्रत्येकाने एक गोळी झाडली. पहिल्या आणि दुसऱ्या शिकारीच्या लक्ष्यावर येण्याची शक्यता अनुक्रमे 0.7 आणि 0.8 आहे. कमीतकमी एका शॉटने लांडग्याला मारण्याची संभाव्यता किती आहे?

39. काही शूटरसाठी किमान एकदा तीन शॉट्ससह लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता 0.875 आहे. एका शॉटसह हिटची संभाव्यता शोधा.

40. कळपातून उच्च उत्पादक गायी निवडल्या जातात. यादृच्छिकपणे निवडलेला प्राणी अत्यंत उत्पादक असण्याची शक्यता 0.2 आहे. निवडलेल्या तीन गायींपैकी फक्त दोनच जास्त उत्पादक असण्याची शक्यता शोधा.

41. पहिल्या पिंजऱ्यात 3 पांढरे आणि 4 राखाडी ससे आहेत, दुसऱ्या पिंजऱ्यात 7 पांढरे आणि 5 काळे ससे आहेत. प्रत्येक पिंजऱ्यातून यादृच्छिकपणे एक ससा घेण्यात आला. दोन्ही ससे पांढरे असण्याची शक्यता किती आहे?

42. प्राण्यांच्या गटामध्ये दोन लसींच्या परिणामकारकतेचा अभ्यास करण्यात आला. दोन्ही लसींमुळे 0.2 च्या समान संभाव्यतेसह प्राण्यांमध्ये ऍलर्जी होऊ शकते. लसींमुळे ऍलर्जी होणार नाही याची शक्यता शोधा.

43. कुटुंबात तीन मुले आहेत. मुलगा आणि मुलगी यांच्या जन्माच्या घटना समान संभाव्य आहेत असे गृहीत धरून, कुटुंबातील सर्व मुले समान लिंगाची असण्याची शक्यता शोधा.

44. ऑक्टोबरपासून दिलेल्या भागात स्थिर बर्फाचे आवरण स्थापित करण्याची संभाव्यता 0.1 आहे. पुढील तीन वर्षांत, ऑक्टोबरपासून किमान एकदा तरी या भागात स्थिर बर्फाचे आच्छादन स्थापित होईल याची संभाव्यता निश्चित करा.

45. सर्व उत्पादनांपैकी 4% दोषपूर्ण आहेत आणि 75% गैर-दोषपूर्ण उत्पादने प्रथम श्रेणीच्या आवश्यकता पूर्ण करतात हे ज्ञात असल्यास यादृच्छिकपणे निवडलेले उत्पादन प्रथम श्रेणीचे आहे याची संभाव्यता निश्चित करा.

46. ​​दोन नेमबाज, ज्यांच्यासाठी लक्ष्य गाठण्याची शक्यता अनुक्रमे 0.7 आणि 0.8 आहे, प्रत्येकी एक गोळी मारली. लक्ष्यावर किमान एक हिट होण्याची शक्यता निश्चित करा.

47. प्रत्येक प्रयोगात घडणाऱ्या घटनेची संभाव्यता 0.2 सारखीच असते. घटना घडेपर्यंत प्रयोग क्रमाने केले जातात. तुम्हाला चौथा प्रयोग करावा लागेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

48. पहिल्या मशीनवर तयार केलेला भाग प्रथम श्रेणीचा असेल याची संभाव्यता 0.7 आहे. दुसऱ्या मशीनवर समान भाग तयार करताना, ही संभाव्यता 0.8 आहे. पहिल्या मशीनने दोन भाग तयार केले, दुसरे तीन. सर्व भाग प्रथम श्रेणीचे आहेत याची संभाव्यता शोधा.

49. इलेक्ट्रिकल सर्किटमध्ये ब्रेक तेव्हा होऊ शकतो जेव्हा एक घटक किंवा दोन घटक आणि अयशस्वी होतात, जे अनुक्रमे 0.3 च्या संभाव्यतेसह, एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे अपयशी ठरतात; 0.2 आणि 0.2. इलेक्ट्रिकल सर्किट ब्रेकची संभाव्यता निश्चित करा.

50. 10 पैकी एक दिवा अयशस्वी झाल्यामुळे डिव्हाइसचे ऑपरेशन थांबले. हा दिवा शोधणे प्रत्येक दिवा बदलून नवीन दिवा लावून केले जाते. प्रत्येक दिवा निकामी होण्याची संभाव्यता 0.1 असल्यास 7 दिवे तपासावे लागतील याची संभाव्यता निश्चित करा.

51. इलेक्ट्रिकल सर्किटमधील व्होल्टेज नाममात्र मूल्यापेक्षा जास्त होण्याची संभाव्यता 0.3 आहे. वाढलेल्या व्होल्टेजवर, विद्युत प्रवाह वापरणाऱ्या उपकरणासाठी अपघाताची संभाव्यता 0.8 आहे. वाढलेल्या व्होल्टेजमुळे डिव्हाइसच्या अपयशाची संभाव्यता निश्चित करा.

52. दिलेल्या शूटरसाठी पहिले लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता 2/3 आहे. जर पहिल्या शॉटवर हिटची नोंद झाली, तर शूटरला दुसर्या लक्ष्यावर शूट करण्याचा अधिकार प्राप्त होतो. दोन शॉट्ससह दोन्ही लक्ष्यांना मारण्याची संभाव्यता 0.5 आहे. दुसरे लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता निश्चित करा.

53. सहा कार्ड्सच्या मदतीने, ज्यावर एक अक्षर लिहिलेले आहे, "कॅरेज" हा शब्द तयार केला आहे. कार्ड्स शफल केली जातात आणि नंतर एका वेळी एक बाहेर काढली जातात. ज्या क्रमाने अक्षरे दिसतात त्या क्रमाने "रॉकेट" हा शब्द तयार होण्याची शक्यता किती आहे?

54. ग्राहक फोन नंबरचा शेवटचा अंक विसरला आहे आणि म्हणून तो यादृच्छिकपणे डायल करतो. संभाव्यता निश्चित करा की त्याला तीनपेक्षा जास्त ठिकाणी कॉल करावे लागणार नाही.

55. चार विसंगत घटनांपैकी प्रत्येक 0.012 च्या संभाव्यतेसह अनुक्रमे घडू शकते; ०.०१०; 0.006 आणि 0.002. प्रयोगाच्या परिणामी यापैकी किमान एक घटना घडण्याची संभाव्यता निश्चित करा.

56. 52 कार्ड्सच्या डेकमधून कोणत्याही सूटची आकृती किंवा कुदळीचे कार्ड काढण्याची संभाव्यता किती आहे (आकृतीला जॅक, राणी किंवा राजा म्हणतात)?

57. बॉक्समध्ये 20 कोपेक्सची 10 नाणी, 15 कोपेक्सची 5 नाणी आहेत. आणि 10 कोपेक्सची 2 नाणी. यादृच्छिकपणे 6 नाणी घेतली जातात. एकूण एक रूबलपेक्षा जास्त नसण्याची संभाव्यता काय आहे?

58. दोन कलशांमध्ये गोळे आहेत: पहिल्यामध्ये 5 पांढरे, 11 काळे आणि 8 लाल आहेत आणि दुसऱ्यामध्ये अनुक्रमे 10, 8 आणि 6 आहेत. दोन्ही कलशांमधून एक चेंडू यादृच्छिकपणे काढला जातो. दोन्ही चेंडू एकाच रंगाचे असण्याची शक्यता किती आहे?

59. दिलेल्या ॲथलीटसाठी त्याचा मागील निकाल एका प्रयत्नात सुधारण्याची संभाव्यता 0.4 आहे. दोन प्रयत्नांना परवानगी दिल्यास एखाद्या ऍथलीटने स्पर्धेमध्ये त्याचा निकाल सुधारेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

पर्याय 9

1. प्रत्येक 6 समान कार्डांवर खालीलपैकी एक अक्षर छापलेले आहे: o, g, o, r, o, d. कार्डे पूर्णपणे मिसळलेली आहेत. संभाव्यता शोधा की, त्यांना एका ओळीत ठेवून, "भाजीपाला बाग" हा शब्द वाचणे शक्य होईल.

2. दिलेल्या ॲथलीटसाठी 1 प्रयत्नात मागील निकाल सुधारण्याची संभाव्यता 0.6 आहे. एखाद्या ऍथलीटला 2 प्रयत्न करण्याची परवानगी मिळाल्यास तो एखाद्या स्पर्धेत त्याचा निकाल सुधारेल याची संभाव्यता निश्चित करा.

3. पहिल्या बॉक्समध्ये 20 भाग आहेत, त्यापैकी 15 मानक आहेत; दुसऱ्यामध्ये - 30 भाग, त्यापैकी 24 मानक आहेत; तिसऱ्यामध्ये 10 भाग आहेत, त्यापैकी 6 मानक आहेत. यादृच्छिकपणे घेतलेल्या बॉक्समधून यादृच्छिकपणे घेतलेला भाग प्रमाणित आहे याची संभाव्यता शोधा.

4. बर्नौलीचे सूत्र आणि मोइव्रे-लॅप्लेस प्रमेय वापरून समस्या सोडवा: अ) संदेश प्रसारित करताना, 1 वर्ण विकृत होण्याची संभाव्यता 0.24 आहे. 10-वर्णांच्या संदेशामध्ये 3 पेक्षा जास्त विकृती नसल्याची संभाव्यता निश्चित करा;

b) 400 झाडे लावण्यात आली. वैयक्तिक झाड रूट होण्याची शक्यता 0.8 आहे. संभाव्यता शोधा की जिवंत झाडांची संख्या: 1) 300 आहे; 2) 310 पेक्षा जास्त, परंतु 330 पेक्षा कमी.

5. सारणीबद्ध डेटा वापरून, यादृच्छिक चल X च्या गणितीय अपेक्षा, फैलाव आणि मानक विचलनाची गणना करा आणि यादृच्छिक चल अपेक्षेपेक्षा जास्त मूल्य घेईल याची संभाव्यता देखील निर्धारित करा.

6. सतत यादृच्छिक चल X वितरण कार्याद्वारे निर्दिष्ट केले जाते

शोधा: अ) पॅरामीटर k; ब) गणितीय अपेक्षा; c) फैलाव.

7. एक समाजशास्त्रीय संस्था एंटरप्राइझ व्यवस्थापनाद्वारे केलेल्या संरचनात्मक पुनर्रचनाकडे त्यांचा दृष्टिकोन निश्चित करण्यासाठी एंटरप्राइझ कर्मचाऱ्यांचे सर्वेक्षण करते. संरचनात्मक परिवर्तनांवर समाधानी लोकांचे प्रमाण a = 53.1% आणि σ = 3.9% पॅरामीटर्ससह सामान्य वितरण कायद्याद्वारे वर्णन केले आहे असे गृहीत धरून, परिवर्तनांवर समाधानी लोकांचे प्रमाण 50% पेक्षा कमी असण्याची शक्यता शोधा.

8. सामान्य लोकसंख्येमधून एक नमुना काढला गेला, जो मध्यांतर भिन्नता मालिकेच्या स्वरूपात सादर केला जातो (तक्ता पहा): अ) सामान्य लोकसंख्येचे सामान्य वितरण आहे असे गृहीत धरून, गणिताच्या अपेक्षेसाठी आत्मविश्वासाने एक आत्मविश्वास मध्यांतर तयार करा. γ = ०.९५ ची संभाव्यता; ब) एक सोपी पद्धत वापरून स्क्यूनेस आणि कर्टोसिसच्या गुणांकांची गणना करा आणि लोकसंख्येच्या वितरण कार्याच्या स्वरूपाबद्दल योग्य गृहितक करा; c) पिअरसन निकष वापरून, α = 0.05 च्या महत्त्वाच्या पातळीवर लोकसंख्येच्या वितरणाच्या सामान्यतेबद्दलच्या गृहीतकाची चाचणी घ्या.

9. X आणि Y मूल्यांची सहसंबंध सारणी दिली आहे: a) सहसंबंध गुणांक r xy ची गणना करा, X आणि Y मधील संबंधांबद्दल निष्कर्ष काढा; b) X वरील Y आणि Y वरील X ची रेषीय प्रतिगमन समीकरणे शोधा आणि त्यांचे आलेख देखील तयार करा.