Tikimybė pagerinti ankstesnį rezultatą. Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

, Rusijos Federacijos baudžiamojo proceso kodeksas nuo 18.1.rtf, Rusijos Federacijos teisės aktų dėl sveikatos priežiūros pagrindai, EŽTK. Individualaus skundo padavimo teisinis mechanizmas ir teisinis .

4 pamoka. Tikimybių sudėjimo teorema.

14.1. Trumpa teorinė dalis

P( A+IN) = P( A)+P( B) - R( AB),

kuri apibendrina bet kokio įvykių skaičiaus sumą

Nesuderinamiems įvykiams įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, t.y.

24.2. Testas

1. 
   Kokiu atveju įvykiai A ir B vadinami nesuderinami arba nesuderinami?

b) Kai bandymo metu įvyksta bent vienas iš šių įvykių

c) Kai šių įvykių bendras pasireiškimas neįmanomas

d) kai eksperimento metu įvyksta abu šie įvykiai

1. 
   Nurodykite suderinamus įvykius.

b) To paties studento buvimas paskaitoje tuo pačiu metu klasėje ir kine

c) Pavasario pradžia pagal kalendorių ir sniegas

d) trijų taškų atsiradimas kiekvieno iš dviejų kauliukų numestoje pusėje ir taškų sumos iš abiejų kauliukų pusių lygybė su nelyginiu skaičiumi

e) Futbolo rungtynių rodymas per vieną televizijos kanalą ir žinių transliavimas per kitą

1. 
   Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teorema formuluojama taip:

b) Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai

c) Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių skirtumui

1. 
   Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema suformuluota taip:

b) tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės

c) tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių ir jų bendro įvykimo tikimybės sumai

1. 
   Tikimybių sudėjimo teorema apibendrinama bet kokio įvykių skaičiaus sumai, o įvykių sumos tikimybė bendra forma apskaičiuojama pagal formulę:

1. 
   Jei įvykiai nesuderinami, tada šių įvykių sumos tikimybė yra lygi:

b)
V)

34.3. Tipiškų problemų sprendimas

SU, susidedantis iš to, kad bandant atsitiktine tvarka atrinktą pusę visos partijos bus priimta šimto gaminių partija, įskaitant penkis su defektais.

Pažymėkime pagal Aįvykis, susidedantis iš to, kad testavimo metu buvo gauta ne viena nekokybiška prekė, o per IN- įvykis, kai gaunama tik viena nekokybiška prekė.

Kadangi C=A+B, tada norima tikimybė P(C) = P( A+B).

Renginiai A Ir IN nesuderinamas. Todėl P(C) = P( A)+ P( B).

Iš 100 prekių 50 galima pasirinkti įvairiais būdais. Iš 95 gaminių be defektų 50 galima pasirinkti naudojant metodus.

Todėl P( A)=.

Panašus į P( B)= .

P(C) = P( A)+ P( B)=+==0,181.
Pavyzdys 4.2. Elektros grandinė tarp taškų M Ir N sudarytas pagal schemą, parodytą pav. 5.

Nesėkmė laikui bėgant Tįvairūs grandinės elementai – nepriklausomi įvykiai su tokiomis tikimybėmis (1 lentelė).

1 lentelė

Elementas K 1 K 2 L 1 L 2 L 3 Tikimybė0,60,50,40,70,9 Nustatykite grandinės pertraukos tikimybę tam tikram laikotarpiui.
Sprendimas.
Pristatome renginį SU, susidedantis iš to, kad per tam tikrą laikotarpį grandinėje įvyks pertrauka.

Pažymėkime pagal A j (j= 1.2) įvykis, susidedantis iš elemento gedimo KAM j, per A- bent vieno elemento gedimas KAM j, ir per IN- visų trijų elementų gedimas A i (i=1, 2, 3).

Tada norima tikimybė

R( SU) = P( A + IN) = P( A) + P( IN) - R( A)R( B).

R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,

R( IN) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,

Tai.
Pavyzdys 4.3. Urnoje yra n baltas, m juoda ir l raudoni rutuliai, kurie traukiami atsitiktine tvarka po vieną:

a) be grąžinimo;

b) su grąžinimu po kiekvieno ištraukimo.

Abiem atvejais nustatykite tikimybę, kad baltas rutulys bus ištrauktas prieš juodą.
Sprendimas.

Leisti R 1 yra tikimybė, kad baltas rutulys bus ištrauktas prieš juodąjį ir R 11 - tikimybė, kad juodas rutulys bus ištrauktas prieš baltąjį.

Tikimybė R 1 yra balto rutulio ištraukimo tikimybių suma iš karto, ištraukus vieną raudoną, du raudonus ir tt Taigi, galime rašyti tuo atveju, kai kamuoliukai negrąžinami,

o kai kamuoliukai grįš

Norėdami gauti tikimybes R 11 ankstesnėse formulėse reikia pakeisti nįjungta m, A mįjungta n. Iš to išplaukia, kad abiem atvejais R 1 :R 11 = n:m. Kadangi, be to, R 1 +R 11 = 1, tada reikiama tikimybė išimant kamuoliukus negrąžinus taip pat yra lygi.
Pavyzdys 4.4. Kažkas parašė n laiškus, užklijuodavo juos vokuose, o paskui atsitiktinai ant kiekvieno iš jų užrašydavo skirtingus adresus. Nustatykite tikimybę, kad bent vienas iš vokų turi teisingą adresą.
Sprendimas.

Tegul renginys A k ar tai įjungta k- ant voko yra teisingas adresas ( k= l, 2,..., n).

Norima tikimybė.

Renginiai A k Bendras; bet kokiam kitokiam k, j, i, ... galioja šios lygybės:

Naudojant sumos tikimybės formulę nįvykių, gauname

Laisvėje n.

44.4. Savarankiško darbo užduotys

(Atsakymas: p = 0,03)
4.2. Šaulys paleidžia vieną šūvį į taikinį, susidedantį iš centrinio apskritimo ir dviejų koncentrinių žiedų. Tikimybės atsitrenkti į apskritimą ir žiedą yra atitinkamai 0,20, 0,15 ir 0,10. Nustatykite tikimybę praleisti tikslą.

(Atsakymas: p = 0,55)
4.3. Dvi vienodo spindulio monetos r esantis spindulio apskritimo viduje R, į kurį atsitiktinai įmetamas taškas. Nustatykite tikimybę, kad šis taškas nukris ant vienos iš monetų, jei monetos nesutampa.

(Atsakymas: p =)
4.4. Kokia tikimybė iš 52 kortų kaladės ištraukti bet kokios spalvos figūrą arba pikų kortą (figūra vadinama lizdu, dama arba karaliumi)?

(Atsakymas: p =)
4.5. Dėžutėje yra 10 monetų po 20 kapeikų, 5 monetos po 15 kapeikų. ir 2 monetos po 10 kapeikų. Atsitiktinai paimamos šešios monetos. Kokia tikimybė, kad jų suma bus ne didesnė kaip vienas rublis?

(Atsakymas: p =)
4.6. Dviejose urnose yra kamuoliukai, kurie skiriasi tik spalva, o pirmoje urnoje yra 5 balti rutuliukai, 11 juodi ir 8 raudoni, o antroje - atitinkamai 10, 8 ir 6. Iš abiejų urnų atsitiktinai ištraukiamas vienas kamuoliukas . Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra tos pačios spalvos?

(Atsakymas: p = 0,323)
4.7. Žaidimas tarp A Ir B atliekama tokiomis sąlygomis: dėl pirmojo žingsnio, kuris visada daro A, jis gali laimėti su 0,3 tikimybe; jei pirmas ėjimas A nelaimi, tada daro žingsnį IN ir gali laimėti su 0,5 tikimybe; jei dėl šio žingsnio IN tada nelaimi A atlieka antrą ėjimą, dėl kurio jis gali laimėti su 0,4 tikimybe. Nustatykite tikimybę laimėti už A ir už IN.

(Atsakymas: = 0,44, = 0,35)
4.8. Tikimybė, kad konkretus sportininkas pagerins savo ankstesnį rezultatą vienu bandymu yra R. Nustatykite tikimybę, kad sportininkas pagerins savo rezultatą varžybose, jei bus leidžiami du bandymai.

(Atsakymas: p(A) =)
4.9. Iš urnos, kurioje yra n rutuliai su skaičiais nuo 1 iki n, paeiliui ištraukiami du rutuliai, o pirmasis kamuoliukas grąžinamas, jei jo numeris nėra vienas. Nustatykite tikimybę, kad rutulys numeris 2 bus ištrauktas antrą kartą.

(Atsakymas: p =)
4.10. Žaidėjas A paeiliui žaidžia su žaidėjais IN Ir SU, kurio tikimybė laimėti kiekviename žaidime yra 0,25, ir sustabdo žaidimą po pirmojo pralaimėjimo arba po dviejų su kiekvienu žaidėju sužaistų partijų. Nustatykite tikimybę laimėti IN Ir SU.

(Atsakymas: )
4.11. Du žmonės paeiliui meta monetą. Laimi tas, kuris pirmasis gaus herbą. Nustatykite kiekvieno žaidėjo laimėjimo tikimybę.

(Atsakymas: )
4.12. Tikimybė gauti tašką nepralaimėjus padavimo, kai žaidžia dvi lygios tinklinio komandos, yra lygi pusei. Nustatykite tikimybę gauti vieną tašką aptarnaujančiai komandai.

(Atsakymas: p =)
4.13. Du šauliai paeiliui šaudo į taikinį, kol pataiko pirmasis. Pirmojo šaulio pataikymo tikimybė yra 0,2, o antrojo - 0,3. Raskite tikimybę, kad pirmasis šaulys iššaus daugiau šūvių nei antrasis.

(Atsakymas: p = 0,455)
4.14. Du žaidėjai žaidžia iki pergalės, o tam turi laimėti pirmasis T partijos, o antrasis P vakarėliams. Tikimybė, kad pirmasis žaidėjas laimės kiekvieną žaidimą, yra R, ir antrasis q=1-R. Nustatykite tikimybę, kad pirmasis žaidėjas laimės visą žaidimą.

(Atsakymas: p(A) =)

4.1. Kiekvienas iš keturių nesuderinamų įvykių gali įvykti su tikimybėmis atitinkamai 0,012, 0,010, 0,006 ir 0,002. Nustatykite tikimybę, kad bent vienas iš šių įvykių įvyks dėl eksperimento.

(Atsakymas: p = 0,03)

4.2. Šaulys paleidžia vieną šūvį į taikinį, susidedantį iš centrinio apskritimo ir dviejų koncentrinių žiedų. Tikimybės atsitrenkti į apskritimą ir žiedą yra atitinkamai 0,20, 0,15 ir 0,10. Nustatykite tikimybę praleisti tikslą.

(Atsakymas: p = 0,55)

4.3. Dvi vienodos monetos, kurių spindulys r, yra R spindulio apskritimo viduje, į kurį atsitiktinai įmetamas taškas. Nustatykite tikimybę, kad šis taškas nukris ant vienos iš monetų, jei monetos nesutampa.

(Atsakymas: p = )

4.4. Kokia tikimybė iš 52 kortų kaladės ištraukti bet kokios spalvos figūrą arba pikų kortą (figūra vadinama lizdu, dama arba karaliumi)?

(Atsakymas: p = )

4.5. Dėžutėje yra 10 monetų po 20 kapeikų, 5 monetos po 15 kapeikų. ir 2 monetos po 10 kapeikų. Atsitiktinai paimamos šešios monetos. Kokia tikimybė, kad jų suma bus ne didesnė kaip vienas rublis?

(Atsakymas: p = )

4.6. Dviejose urnose yra kamuoliukai, kurie skiriasi tik spalva, o pirmoje urnoje yra 5 balti rutuliukai, 11 juodi ir 8 raudoni, o antroje - atitinkamai 10, 8 ir 6. Iš abiejų urnų atsitiktinai ištraukiamas vienas kamuoliukas . Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra tos pačios spalvos?

(Atsakymas: p = 0,323)

4.7. Žaidimas tarp A ir B žaidžiamas tokiomis sąlygomis: dėl pirmojo ėjimo, kurį A visada daro, jis gali laimėti su 0,3 tikimybe; jei A nelaimi pirmu ėjimu, tai B atlieka ėjimą ir gali laimėti su 0,5 tikimybe; jei dėl šio ėjimo B nelaimi, tai A atlieka antrą ėjimą, kuris gali lemti jo laimėjimą su 0,4 tikimybe. Nustatykite tikimybę laimėti A ir B.

(Atsakymas: = 0,44, = 0,35)

4.8. Tikimybė, kad duotas sportininkas pagerins savo ankstesnį rezultatą vienu bandymu, yra lygi p. Nustatykite tikimybę, kad sportininkas pagerins savo rezultatą varžybose, jei bus leidžiami du bandymai.

(Atsakymas: p(A) = )

4.9. Iš urnos, kurioje yra n rutuliukų su skaičiais nuo 1 iki n, paeiliui ištraukiami du rutuliai, o pirmasis kamuoliukas grąžinamas, jei jo skaičius nėra lygus vienetui. Nustatykite tikimybę, kad rutulys numeris 2 bus ištrauktas antrą kartą.

(Atsakymas: p = )

4.10. Žaidėjas A žaidžia pakaitomis su žaidėjais B ir C, kurių tikimybė laimėti kiekviename žaidime yra 0,25, ir nustoja žaisti po pirmojo pralaimėjimo arba po dviejų su kiekvienu žaidėju sužaistų partijų. Nustatykite tikimybę laimėti B ir C.

4.11. Du žmonės paeiliui meta monetą. Laimi tas, kuris pirmasis gaus herbą. Nustatykite kiekvieno žaidėjo laimėjimo tikimybę.

(Atsakymas: )

4.12. Tikimybė gauti tašką nepralaimėjus padavimo, kai žaidžia dvi lygios tinklinio komandos, yra lygi pusei. Nustatykite tikimybę gauti vieną tašką aptarnaujančiai komandai.

(Atsakymas: p = )

4.13. Du šauliai paeiliui šaudo į taikinį, kol pataiko pirmasis. Pirmojo šaulio pataikymo tikimybė yra 0,2, o antrojo - 0,3. Raskite tikimybę, kad pirmasis šaulys iššaus daugiau šūvių nei antrasis.

(Atsakymas: p = 0,455)

4.14. Du žaidėjai žaidžia iki pergalės ir tam pirmajam reikia laimėti m partijų, o antrajam n partijų. Tikimybė laimėti kiekvieną partiją pirmajam žaidėjui yra p, o antrojo q=1-p. Nustatykite tikimybę, kad pirmasis žaidėjas laimės visą žaidimą.

1. Pirmoje dėžutėje yra 2 balti ir 10 juodų rutuliukų; Antroje dėžutėje yra 8 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos dėžės buvo paimtas kamuolys. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra balti?

2. Pirmoje dėžutėje yra 2 balti ir 10 juodų kamuoliukų; Antroje dėžutėje yra 8 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos dėžės buvo paimtas kamuolys. Kokia tikimybė, kad vienas rutulys yra baltas, o kitas juodas?

3. Dėžutėje yra 6 balti ir 8 juodi rutuliai. Iš dėžutės išimami du rutuliai (negrąžinant išimto kamuoliuko į dėžę). Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti.

4. Trys šauliai šaudo į taikinį nepriklausomai vienas nuo kito. Tikimybė pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,75, antrajam – 0,8, trečiajam – 0,9. Nustatykite tikimybę, kad visi trys šauliai pataikys į taikinį vienu metu; bent vienas šaulys pataikys į taikinį.

5. Urnoje yra 9 balti ir 1 juodas rutuliukai. Iš karto buvo ištraukti trys kamuoliukai. Kokia tikimybė, kad visi rutuliai bus balti?

6. Iššaukite tris šūvius į vieną taikinį. Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,5. Raskite tikimybę, kad šie šūviai duos tik vieną smūgį.

7. Du šauliai, kuriems tikimybė pataikyti į taikinį yra atitinkamai 0,7 ir 0,8, paleidžia po vieną šūvį. Nustatykite bent vieno smūgio į taikinį tikimybę.

8. Tikimybė, kad pirmojoje mašinoje pagaminta dalis bus pirmos klasės, yra 0,7, kai ta pati dalis gaminama antroje mašinoje, ši tikimybė yra 0,8. Pirmoji mašina gamino dvi dalis, antroji – tris. Raskite tikimybę, kad visos dalys yra pirmos klasės.

9. Įrenginio veikimas sustojo dėl vienos lempos iš penkių gedimo . Šios lempos paieška atliekama pakeičiant kiekvieną lempą nauja. Nustatykite tikimybę, kad turėsite patikrinti 2 lempos, jei kiekvienos lempos gedimo tikimybė p = 0,2 .

10. Svetainėje AB Motociklininkui-lenktynininkui yra 12 kliūčių, prie kiekvienos iš jų sustoti tikimybė yra 0,1. Tikimybė, kad nuo taško IN iki galutinio tikslo SU motociklininkas važiuos nesustodamas, lygus 0,7. Nustatykite tikimybę, kad svetainėje AC nebus nei vienos stotelės.

11. Automobilio kelyje yra 4 šviesoforai. Tikimybė sustoti ties pirmaisiais dviem yra 0,3, o prie kitų dviejų – 0,4. Kokia tikimybė važiuoti per šviesoforą nesustojus?

12. Automobilio kelyje yra 3 šviesoforai. Tikimybė sustoti ties pirmaisiais dviem yra 0,4, o prie trečio – 0,5. Kokia tikimybė vienu sustojimu praleisti šviesoforą?

13. Du interneto serveriai per dieną susiduria su viruso atakos rizika su 0,3 tikimybe. Kokia tikimybė, kad per 2 dienas prieš juos nebuvo nei vieno išpuolio?

14. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu tam šauliui yra 2/3 Jei pataikymas užfiksuotas per pirmąjį šūvį, tada šaulys turi teisę į antrąjį. Jei pataiko antrą kartą, šaudo trečią kartą. Kokia tikimybė pataikyti trimis šūviais?

15. Žaidimas tarp A Ir IN atliekama tokiomis sąlygomis: dėl pirmojo žingsnio, kuris visada daro A, jis gali laimėti su 0,3 tikimybe; jei pirmas ėjimas A nelaimi, tada daro žingsnį IN ir gali laimėti su 0,5 tikimybe; jei dėl šio žingsnio IN tada nelaimi A atlieka antrą ėjimą, dėl kurio jis gali laimėti su 0,4 tikimybe. Nustatykite tikimybę laimėti už A ir už IN.

16. Tikimybė, kad duotas sportininkas pagerins savo ankstesnį rezultatą vienu bandymu yra 0,2 . Nustatykite tikimybę, kad sportininkas pagerins savo rezultatą varžybose, jei bus leidžiami du bandymai.

17. Žaidėjas A pakaitomis žaidžia du žaidimus su žaidėjais IN Ir SU. Tikimybė laimėti pirmąjį žaidimą IN Ir SU lygus atitinkamai 0,1 ir 0,2; tikimybė laimėti antrame žaidime už IN yra lygus 0,3, už SU lygus 0,4. Nustatykite tikimybę, kad: a) B laimės pirmas; b) pirmasis laimės SU.

18. Iš urnos, kurioje yra P rutuliai su skaičiais nuo 1 iki n, paeiliui ištraukiami du rutuliai, o pirmasis grąžinamas, jei jo skaičius nėra lygus vienetui. Nustatykite tikimybę, kad rutulys numeris 2 bus ištrauktas antrą kartą.

19. Žaidėjas A pakaitomis žaidžia su žaidėjais B ir C, kurių tikimybė laimėti kiekviename žaidime yra 0,25, ir sustabdo žaidimą po pirmojo laimėjimo arba po dviejų pralaimėtų partijų bet kuriam žaidėjui. Nustatykite tikimybę laimėti B ir C.

20. Du žmonės paeiliui meta monetą. Tas, kuris laimi, yra tas. kurios herbas atsiras pirmas. Nustatykite kiekvieno žaidėjo laimėjimo tikimybę.

21. Urnoje yra 8 balti ir 6 juodi rutuliai. Du žaidėjai iš eilės ištraukia vieną rutulį, kiekvieną kartą grąžindami išimtą kamuoliuką. Žaidimas tęsiamas tol, kol vienas iš jų gauna baltą kamuolį. Nustatykite tikimybę, kad žaidimą pradėjęs žaidėjas pirmasis ištrauks baltą rutulį.

22. Atsiimti dokumentų iš 4 archyvų buvo išsiųstas kurjeris. Tikimybė turėti reikiamus dokumentus I-ajame archyve yra 0,9; II – 0,95; III – 0,8; IV – 0,6. Raskite tikimybę P, kad dokumento nebus tik viename archyve.

23. Raskite tikimybę, kad du iš trijų savarankiškai veikiančių skaičiavimo įrenginio elementų suges, jei pirmojo, antrojo ir trečiojo elementų gedimo tikimybė atitinkamai yra 0,3, 0,5, 0,4.

24. Narve yra 8 baltos ir 4 pilkos pelės. Trys pelės atsitiktinai atrenkamos laboratoriniams tyrimams ir negrąžinamos. Raskite tikimybę, kad visos trys pelės yra baltos.

25. Narve yra 8 jūrų kiaulytės. Trys iš jų kenčia nuo mineralinių druskų apykaitos pažeidimo. Trys gyvūnai išvežami iš eilės negrąžinant. Kokia tikimybė, kad jie sveiki?

26. Tvenkinyje auga 12 karosų, 18 karšių ir 10 karpių. Pagauta trys žuvys. Raskite tikimybę, kad iš eilės pagavote du karpius ir karosus.

27. Bandoje yra 12 karvių, iš kurių 4 simentalų veislės, likusios galšteinų-fryzų veislės. Veisimo darbui buvo atrinkti trys gyvūnai. Raskite tikimybę, kad visos trys iš jų yra simentalų veislės.

28. Hipodrome yra 10 įlankos arklių, 3 pilki ir 7 balti. Lenktynėse atsitiktine tvarka buvo atrinkti 2 žirgai. Kokia tikimybė, kad tarp jų nėra balto arklio?

29. Veislyne yra 9 šunys, iš kurių 3 koliai, 2 bokseriai, likusieji dogai. Atsitiktinai atrenkami trys šunys. Kokia tikimybė, kad bent vienas iš jų yra boksininkas?

30. Gyvūnų palikuonių vidurkis – 4. Vienodai tikėtinas patelių ir patinų individų atsiradimas. Raskite tikimybę, kad palikuonyje yra du patinai.

31. Maišelyje yra sėklų, kurių daigumas yra 0,85. Tikimybė, kad augalas žydės, yra 0,9. Kokia tikimybė, kad iš atsitiktinės sėklos išaugintas augalas žydės?

32. Maišelyje yra pupelių sėklos, kurių daigumas – 0,9. Tikimybė, kad pupelių žiedai bus raudoni, yra 0,3. Kokia tikimybė, kad augalas iš atsitiktinai parinktos sėklos turės raudonus žiedus?

33. Tikimybė, kad atsitiktinai parinktas asmuo per artimiausią mėnesį pateks į ligoninę, yra 0,01. Kokia tikimybė, kad iš trijų atsitiktinai gatvėje atrinktų žmonių per ateinantį mėnesį į ligoninę pateks būtent vienas?

34. Melžėja aptarnauja 4 karves. Tikimybė susirgti mastitu per mėnesį pirmai karvei yra 0,1, antrai – 0,2, trečiai – 0,2, ketvirtai – 0,15. Raskite tikimybę, kad per mėnesį bent viena karvė susirgs mastitu.

35. Keturi medžiotojai sutiko paeiliui šaudyti žvėrieną. Kitas medžiotojas paleidžia šūvį tik tuo atveju, jei ankstesnis nepataiko. Tikimybės, kad kiekvienas medžiotojas pataikys į taikinį, yra vienodos ir lygios 0,8. Raskite tikimybę, kad bus paleisti trys šūviai.

36. Studentas studijuoja chemiją, matematiką ir biologiją. Jis apskaičiavo, kad tikimybė gauti A šiuose kursuose yra atitinkamai 0,5, 0,3 ir 0,4. Darant prielaidą, kad šių kursų pažymiai yra nepriklausomi, suraskite tikimybę, kad jis negaus nė vieno „puikaus“ ​​pažymio.

37. Mokinys žino 20 iš 25 programos klausimų. Kokia tikimybė, kad jis žino visus tris egzaminuotojo jam pasiūlytos programos klausimus?

38. Du medžiotojai šaudo į vilką, kiekvienas iššauna po vieną šūvį. Tikimybė, kad pirmasis ir antrasis medžiotojas pataikys į taikinį, yra atitinkamai 0,7 ir 0,8. Kokia tikimybė pataikyti į vilką bent vienu šūviu?

39. Tikimybė trimis šūviais bent kartą pataikyti į taikinį kokiam nors šauliui yra 0,875. Raskite pataikymo tikimybę vienu šūviu.

40. Iš bandos atrenkamos labai produktyvios karvės. Tikimybė, kad atsitiktinai parinktas gyvūnas bus labai produktyvus, yra 0,2. Raskite tikimybę, kad iš trijų atrinktų karvių tik dvi bus labai produktyvios.

41. Pirmajame narve yra 3 balti ir 4 pilki triušiai, antrame narve – 7 balti ir 5 juodi triušiai. Iš kiekvieno narvo atsitiktine tvarka buvo paimtas vienas triušis. Kokia tikimybė, kad abu triušiai yra balti?

42. Dviejų vakcinų veiksmingumas buvo tiriamas gyvūnų grupėje. Abi vakcinos gali sukelti alergiją gyvūnams vienoda 0,2 tikimybe. Raskite tikimybę, kad vakcinos nesukels alergijos.

43. Šeimoje auga trys vaikai. Darant prielaidą, kad berniuko ir mergaitės gimimo įvykiai yra vienodai tikėtini, suraskite tikimybę, kad visi vaikai šeimoje yra tos pačios lyties.

44. Stabilios sniego dangos susidarymo tikimybė tam tikroje vietovėje nuo spalio mėnesio yra 0,1. Nustatykite tikimybę, kad per artimiausius trejus metus nuo spalio mėnesio bent kartą šioje vietoje nusistovės stabili sniego danga.

45. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai parinkta prekė yra pirmos klasės, jei žinoma, kad 4% visų gaminių yra brokuoti, o 75% nekokybiškų gaminių atitinka pirmos klasės reikalavimus.

46. ​​Du šauliai, kuriems tikimybė pataikyti į taikinį yra atitinkamai 0,7 ir 0,8, paleidžia po vieną šūvį. Nustatykite bent vieno smūgio į taikinį tikimybę.

47. Kiekvieno eksperimento įvykio tikimybė yra vienoda ir lygi 0,2. Eksperimentai atliekami nuosekliai, kol įvyksta įvykis. Nustatykite tikimybę, kad turėsite atlikti ketvirtą eksperimentą.

48. Tikimybė, kad pirmojoje mašinoje pagaminta dalis bus pirmos klasės, yra 0,7. Gaminant tą pačią dalį antroje mašinoje, ši tikimybė yra 0,8. Pirmoji mašina gamino dvi dalis, antroji – tris. Raskite tikimybę, kad visos dalys yra pirmos klasės.

49. Elektros grandinėje gali nutrūkti, kai sugenda vienas arba du elementai, kurie sugenda nepriklausomai vienas nuo kito, su tikimybe 0,3; 0,2 ir 0,2. Nustatykite elektros grandinės nutrūkimo tikimybę.

50. Prietaiso veikimas sustojo sugedus vienai lempai iš 10. Šios lempos paieška atliekama pakeičiant kiekvieną lempą nauja. Nustatykite tikimybę, kad reikės patikrinti 7 lempas, jei kiekvienos lempos gedimo tikimybė yra 0,1.

51. Tikimybė, kad įtampa elektros grandinėje viršys vardinę vertę, yra 0,3. Esant padidintai įtampai, avarijos tikimybė įrenginyje, vartojančiame elektros srovę, yra 0,8. Nustatykite įrenginio gedimo tikimybę dėl padidėjusios įtampos.

52. Tikimybė pataikyti į pirmąjį taikinį duotam šauliui yra 2/3. Jei pataikymas užfiksuojamas pirmuoju šūviu, tada šaulys įgyja teisę šaudyti į kitą taikinį. Tikimybė dviem šūviais pataikyti į abu taikinius yra 0,5. Nustatykite tikimybę pataikyti į antrą taikinį.

53. Šešių kortelių, ant kurių užrašyta viena raidė, pagalba sudaromas žodis „vežimas“. Kortos sumaišomos ir išimamos po vieną. Kokia tikimybė, kad žodis „raketa“ bus suformuotas raidžių atsiradimo tvarka?

54. Abonentas pamiršo paskutinį telefono numerio skaitmenį, todėl jį surenka atsitiktinai. Nustatykite tikimybę, kad jis turės skambinti ne daugiau kaip į tris vietas.

55. Kiekvienas iš keturių nesuderinamų įvykių gali įvykti atitinkamai su 0,012 tikimybe; 0,010; 0,006 ir 0,002. Nustatykite tikimybę, kad bent vienas iš šių įvykių įvyks dėl eksperimento.

56. Kokia tikimybė iš 52 kortų kaladės ištraukti bet kokios spalvos figūrą arba pikų kortą (figūra vadinama domtu, dama arba karaliumi)?

57. Dėžutėje yra 10 monetų po 20 kapeikų, 5 monetos po 15 kapeikų. ir 2 monetos po 10 kapeikų. Atsitiktinai paimamos 6 monetos. Kokia tikimybė, kad bendra suma bus ne didesnė kaip vienas rublis?

58. Kamuoliukai yra dviejose urnose: pirmajame yra 5 balti, 11 juodi ir 8 raudoni, o antroje - atitinkamai 10, 8 ir 6, atsitiktine tvarka iš abiejų urnų. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra tos pačios spalvos?

59. Tikimybė, kad duotas sportininkas pagerins savo ankstesnį rezultatą vienu bandymu yra 0,4. Nustatykite tikimybę, kad sportininkas pagerins savo rezultatą varžybose, jei bus leidžiami du bandymai.

9 variantas

1. Ant kiekvienos iš 6 identiškų kortelių atspausdinta viena iš šių raidžių: o, g, o, r, o, d. Kortelės kruopščiai sumaišomos. Raskite tikimybę, kad sudėjus juos iš eilės bus galima perskaityti žodį „daržas“.

2. Tikimybė, kad duotas sportininkas pagerins savo ankstesnį rezultatą per 1 bandymą yra 0,6. Nustatykite tikimybę, kad sportininkas pagerins savo rezultatą varžybose, jei jam bus leista atlikti 2 bandymus.

3. Pirmoje dėžutėje yra 20 dalių, iš kurių 15 yra standartinės; antroje - 30 dalių, iš kurių 24 yra standartinės; trečioje yra 10 dalių, iš kurių 6 standartinės. Raskite tikimybę, kad dalis, atsitiktinai paimta iš atsitiktinai paimtos dėžutės, yra standartinė.

4. Išspręskite uždavinius naudodami Bernulio formulę ir Moivre-Laplace teoremą: a) perduodant pranešimą, 1 simbolio iškraipymo tikimybė yra 0,24. Nustatykite tikimybę, kad 10 simbolių pranešime yra ne daugiau kaip 3 iškraipymai;

b) pasodinta 400 medžių. Tikimybė, kad atskiras medis prigis, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad išlikusių medžių skaičius: 1) yra 300; 2) daugiau nei 310, bet mažiau nei 330.

5. Naudodami lentelių duomenis, apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį, sklaidą ir standartinį nuokrypį, taip pat nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis didesnę, nei tikėtasi.

6. Ištisinis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstinio funkcija

Raskite: a) parametrą k; b) matematinis lūkestis; c) dispersija.

7. Sociologinė organizacija atlieka įmonės darbuotojų apklausą, siekdama išsiaiškinti jų požiūrį į įmonės vadovybės vykdomus struktūrinius pertvarkymus. Darant prielaidą, kad struktūrinėmis transformacijomis patenkintų žmonių dalis apibūdinama normaliojo skirstinio dėsniu, kurio parametrai a = 53,1% ir σ = 3,9%, raskite tikimybę, kad transformacijomis patenkintų žmonių dalis bus mažesnė nei 50%.

8. Iš bendrosios visumos buvo išskirta imtis, kuri pateikiama intervalų variacijų eilučių pavidalu (žr. lentelę): a) darant prielaidą, kad bendroji visuma turi normalųjį pasiskirstymą, su patikimumu sudaryti matematinio lūkesčio pasikliautinąjį intervalą. tikimybė γ = 0,95; b) supaprastintu metodu apskaičiuoja pasvirumo ir kreivumo koeficientus ir daro atitinkamas prielaidas apie populiacijos pasiskirstymo funkcijos formą; c) naudodamiesi Pirsono kriterijumi, patikrinkite hipotezę apie populiacijos pasiskirstymo normalumą, kai reikšmingumo lygis α = 0,05.

9. Pateikę X ir Y reikšmių koreliacijos lentelę: a) apskaičiuokite koreliacijos koeficientą r xy , padarykite išvadas apie ryšį tarp X ir Y; b) Raskite X tiesinės regresijos lygtis ant Y ir Y ant X, taip pat sudarykite jų grafikus.