Ձեր նախորդ արդյունքը բարելավելու հավանականությունը: Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

, Ռուսաստանի Դաշնության քրեական դատավարության օրենսգիրք 18.1.rtf-ից, Առողջապահության վերաբերյալ Ռուսաստանի Դաշնության օրենսդրության հիմունքներ, ՄԻԵԴ: Անհատական ​​բողոք ներկայացնելու իրավական մեխանիզմ և իրավական .

Դաս 4. Հավանականությունների գումարման թեորեմ.

14.1. Համառոտ տեսական մաս

P( Ա+IN) = P ( Ա)+P( Բ) - R( ԱԲ),

որը ընդհանրացնում է ցանկացած թվով իրադարձությունների գումարին

Անհամատեղելի իրադարձությունների համար իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին, այսինքն.

24.2. Փորձարկում

1. 
   Ո՞ր դեպքում են A և B իրադարձությունները կոչվում անհամատեղելի կամ անհամատեղելի:

բ) Երբ այս իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունենում թեստի ընթացքում

գ) Երբ այդ իրադարձությունների համատեղ առաջացումը անհնար է

դ) Երբ այս երկու իրադարձություններն էլ տեղի են ունենում փորձի ընթացքում

1. 
   Նշեք իրադարձությունները, որոնք համատեղելի են:

բ) դասարանում և կինոթատրոնում դասախոսությանը միևնույն ուսանողի ներկայությունը

գ) Գարնան սկիզբն ըստ օրացույցի և ձյան տեղումների

դ) երկու զառերից յուրաքանչյուրի իջած կողմում երեք կետի հայտնվելը և երկու զառերի ընկած կողմերի միավորների գումարի հավասարությունը կենտ թվին.

ե) Ֆուտբոլային խաղի ցուցադրում մեկ հեռուստաալիքով և լուրերի հեռարձակում մեկ այլ հեռուստաալիքով

1. 
   Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

բ) Երկու անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

գ) Երկու անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունների տարբերությանը.

1. 
   Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

բ) երկու համատեղ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ առաջացման հավանականության.

գ) երկու համատեղ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների և դրանց համատեղ առաջացման հավանականության գումարին.

1. 
   Հավանականությունների գումարման թեորեմը ընդհանրացված է ցանկացած թվով իրադարձությունների գումարին, իսկ ընդհանուր ձևով իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

1. 
   Եթե ​​իրադարձությունները անհամատեղելի են, ապա այդ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է.

բ)
V)

34.3. Տիպիկ խնդիրների լուծում

ՀԵՏ, որը բաղկացած է նրանից, որ ամբողջ խմբաքանակի պատահականորեն ընտրված կեսը փորձարկելու ժամանակ կընդունվի հարյուր ապրանքների խմբաքանակ, այդ թվում՝ հինգ թերի:

Նշենք ըստ Աիրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ փորձարկման ընթացքում ոչ մի թերի արտադրանք չի ստացվել, և միջոցով IN- այն դեպքը, երբ ստացվել է միայն մեկ թերի ապրանք.

Քանի որ C=A+B, ուրեմն ցանկալի հավանականությունը P(C) = P( Ա+Բ).

Իրադարձություններ ԱԵվ INանհամատեղելի. Հետևաբար P(C) = P( Ա)+ P( Բ).

100 ապրանքներից 50-ը կարելի է ընտրել տարբեր եղանակներով։ 95 ոչ թերի արտադրանքներից 50-ը կարելի է ընտրել՝ օգտագործելով մեթոդները:

Հետևաբար P( Ա)=.

P-ի նման Բ)= .

P(C) = P( Ա)+ P( Բ)=+==0,181.
Օրինակ 4.2. Էլեկտրական միացում կետերի միջև ՄԵվ Նկազմված է ըստ Նկ. 5.

Ժամանակի ընթացքում ձախողում Տշղթայի տարբեր տարրեր՝ անկախ իրադարձություններ հետևյալ հավանականություններով (Աղյուսակ 1).

Աղյուսակ 1

Տարր Կ 1 Կ 2 Լ 1 Լ 2 Լ 3 Հավանականություն0,60,50,40,70,9 Որոշեք որոշակի ժամանակահատվածում շղթայի ընդմիջման հավանականությունը:
Լուծում.
Ներկայացնենք իրադարձությունը ՀԵՏ, որը բաղկացած է նրանից, որ նշված ժամանակահատվածում շղթայում ընդմիջում կլինի։

Նշենք ըստ Ա ժ (ժ= 1.2) իրադարձություն, որը բաղկացած է տարրի ձախողումից TO ժ, միջոցով Ա- առնվազն մեկ տարրի ձախողում TO ժ, և միջոցով IN- բոլոր երեք տարրերի ձախողումը Ա ես (ես=1, 2, 3).

Այնուհետեւ ցանկալի հավանականությունը

R( ՀԵՏ) = P ( Ա + IN) = P ( Ա) + P( IN) - R( Ա) R( Բ).

R( Ա) = P ( Ա 1 ) + P( Ա 2 ) - R( Ա 1 ) R( Ա 2 ) = 0,8,

R( IN) = P ( Լ 1 ) R( Լ 2 ) R( Լ 3 ) = 0,252,

Դա.
Օրինակ 4.3. Սուրը պարունակում է nսպիտակ, մսև և լկարմիր գնդակներ, որոնք պատահականորեն նկարվում են մեկ առ մեկ.

ա) առանց վերադարձի.

բ) վերադարձով յուրաքանչյուր արդյունահանումից հետո:

Երկու դեպքում էլ որոշեք հավանականությունը, որ սպիտակ գնդակը կկազմի սևից առաջ:
Լուծում.

Թող Ռ 1 հավանականությունն է, որ սպիտակ գնդակը կկազմի սևից առաջ, և Ռ 11 - հավանականությունը, որ սև գնդակը կկազմի սպիտակից առաջ:

Հավանականություն Ռ 1 սպիտակ գնդակ նկարելու հավանականությունների գումարն է անմիջապես մեկ կարմիր, երկու կարմիր և այլն նկարելուց հետո: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել այն դեպքում, երբ գնդակները չեն վերադարձվում.

և երբ գնդակները վերադառնում են

Հավանականություններ ձեռք բերելու համար Ռ 11 նախորդ բանաձեւերում դուք պետք է փոխարինեք nվրա մ, Ա մվրա n. Դրանից բխում է, որ երկու դեպքում էլ Ռ 1 :Ռ 11 = n:մ. Քանի որ, ի լրումն, Ռ 1 +Ռ 11 = 1, ապա հավասար է նաև պահանջվող հավանականությունը առանց վերադարձնելու գնդակներ հանելիս։
Օրինակ 4.4. Ինչ-որ մեկը գրել է nնամակներ, դրանք կնքել են ծրարներով, ապա պատահականության սկզբունքով գրել տարբեր հասցեներ յուրաքանչյուրի վրա: Որոշեք հավանականությունը, որ ծրարներից գոնե մեկի վրա գրված է ճիշտ հասցեն:
Լուծում.

Թող իրադարձությունը Ա կայն է, որ կ- ծրարը պարունակում է ճիշտ հասցեն ( կ= լ, 2,..., n).

Ցանկալի հավանականություն.

Իրադարձություններ Ա կհամատեղ; ցանկացած տարբերի համար կ, ժ, ես, ... պահպանվում են հետևյալ հավասարությունները.

Օգտագործելով գումարի հավանականության բանաձևը nիրադարձությունները, մենք ստանում ենք

Ազատության մեջ n.

44.4. Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

(Պատասխանել: p = 0.03)
4.2. Կրակողը մեկ կրակոց է արձակում կենտրոնական շրջանից և երկու համակենտրոն օղակից բաղկացած թիրախի ուղղությամբ։ Շրջանակին և օղակին հարվածելու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,20, 0,15 և 0,10 է։ Որոշեք թիրախը բաց թողնելու հավանականությունը:

(Պատասխանել: p = 0,55)
4.3. Երկու նույնական շառավղով մետաղադրամ rգտնվում է շառավղով շրջանագծի ներսում Ռ, որի մեջ պատահականորեն նետվում է կետ: Որոշեք հավանականությունը, որ այս կետն ընկնի մետաղադրամներից մեկի վրա, եթե մետաղադրամները չհամընկնեն:

(Պատասխանել: p =)
4.4. Որքա՞ն է 52 խաղաքարտերից բաղկացած ցանկացած կոստյումով կամ բահերի քարտ նկարելու հավանականությունը (նկարը կոչվում է ժակ, թագուհի կամ թագավոր):

(Պատասխանել: p =)
4.5. Տուփը պարունակում է 10 մետաղադրամ 20 կոպեկանոց, 5 մետաղադրամ 15 կոպեկանոց։ եւ 10 կոպեկանոց 2 մետաղադրամ։ Վեց մետաղադրամ վերցվում է պատահականության սկզբունքով: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուր գումարը կլինի ոչ ավելի, քան մեկ ռուբլի:

(Պատասխանել: p =)
4.6. Երկու սափորը պարունակում է գնդիկներ, որոնք տարբերվում են միայն գույնով, և առաջին կարասում կա 5 սպիտակ գնդիկ՝ 11 սև և 8 կարմիր, իսկ երկրորդում՝ համապատասխանաբար 10, 8 և 6։ Երկու սափորներից պատահականորեն մեկ գնդակ է քաշվում։ . Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ նույն գույնի են:

(Պատասխանել: p = 0,323)
4.7. Խաղի միջև ԱԵվ Բիրականացվում է հետևյալ պայմաններով՝ առաջին քայլի արդյունքում, որը միշտ կատարում է Ա, նա կարող է հաղթել 0,3 հավանականությամբ; եթե առաջին քայլը Աչի հաղթում, հետո քայլ է անում INև կարող է հաղթել 0,5 հավանականությամբ; եթե այս քայլի արդյունքում INուրեմն չի հաղթում Ակատարում է երկրորդ քայլը, որը կարող է հանգեցնել նրան հաղթելու 0,4 հավանականությամբ: Որոշեք հաղթելու հավանականությունը Աև համար IN.

(Պատասխանել: = 0,44, = 0,35)
4.8. Հավանականությունը, որ տվյալ մարզիկը մեկ փորձով կբարելավի իր նախորդ արդյունքը Ռ. Որոշեք հավանականությունը, որ մարզիկը կբարելավի իր արդյունքը մրցումներում, եթե թույլատրվի երկու փորձ:

(Պատասխանել: p(A) =)
4.9. Սուր պարունակող մուրճից nգնդակներ 1-ից մինչև թվերով n, հաջորդաբար գծվում են երկու գնդակներ, որոնցից առաջինը վերադարձվում է, եթե նրա թիվը մեկ չէ: Որոշի՛ր երկրորդ անգամ 2-րդ համարի գնդակը գծելու հավանականությունը։

(Պատասխանել: p =)
4.10. Խաղացող Ահերթով խաղում է խաղացողների հետ INԵվ ՀԵՏ, յուրաքանչյուր խաղում հաղթելու հավանականությունը 0,25 է, և դադարեցնում է խաղը առաջին պարտությունից հետո կամ յուրաքանչյուր խաղացողի հետ խաղացած երկու խաղերից հետո։ Որոշեք հաղթելու հավանականությունը INԵվ ՀԵՏ.

(Պատասխանել: )
4.11. Երկու հոգի հերթով մետաղադրամ են նետում: Հաղթում է նա, ով առաջինն է ստանում զինանշանը։ Որոշեք յուրաքանչյուր խաղացողի հաղթելու հավանականությունը:

(Պատասխանել: )
4.12. Վոլեյբոլի երկու հավասար թիմեր խաղալու դեպքում միավոր վաստակելու հավանականությունը առանց պարտության սերվիսի հավասար է կեսին: Որոշեք սպասարկող թիմի համար մեկ միավոր ստանալու հավանականությունը:

(Պատասխանել: p =)
4.13. Երկու հրաձիգ հերթով կրակում են թիրախի վրա մինչև առաջին հարվածը: Առաջին կրակողի համար հարվածի հավանականությունը 0,2 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,3։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին կրակողը ավելի շատ կրակոց կարձակի, քան երկրորդը:

(Պատասխանել: p = 0,455)
4.14. Երկու խաղացող խաղում են մինչև հաղթանակ, և դրա համար առաջինը պետք է հաղթի Տկուսակցությունները, և երկրորդը Պկուսակցություններ. Յուրաքանչյուր խաղում առաջին խաղացողի հաղթելու հավանականությունը կազմում է Ռ, և երկրորդը ք=1-Ռ. Որոշեք առաջին խաղացողի հաղթելու հավանականությունը ամբողջ խաղում:

(Պատասխանել: p(A) =)

4.1. Չորս անհամատեղելի իրադարձություններից յուրաքանչյուրը կարող է տեղի ունենալ համապատասխանաբար 0,012, 0,010, 0,006 և 0,002 հավանականություններով: Որոշեք հավանականությունը, որ այդ իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի կունենա փորձի արդյունքում:

(Պատասխան՝ p = 0.03)

4.2. Կրակողը մեկ կրակոց է արձակում կենտրոնական շրջանից և երկու համակենտրոն օղակից բաղկացած թիրախի ուղղությամբ։ Շրջանակին և օղակին հարվածելու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,20, 0,15 և 0,10 է։ Որոշեք թիրախը բաց թողնելու հավանականությունը:

(Պատասխան՝ p = 0,55)

4.3. R շառավղով երկու նույնական մետաղադրամներ գտնվում են R շառավղով շրջանագծի ներսում, որի մեջ պատահականորեն նետված է կետը: Որոշեք հավանականությունը, որ այս կետն ընկնի մետաղադրամներից մեկի վրա, եթե մետաղադրամները չհամընկնեն:

(Պատասխան՝ p = )

4.4. Որքա՞ն է 52 խաղաքարտերից բաղկացած ցանկացած կոստյումով կամ բահերի քարտ նկարելու հավանականությունը (նկարը կոչվում է ժակ, թագուհի կամ թագավոր):

(Պատասխան՝ p = )

4.5. Տուփը պարունակում է 10 մետաղադրամ 20 կոպեկանոց, 5 մետաղադրամ 15 կոպեկանոց։ եւ 10 կոպեկանոց 2 մետաղադրամ։ Վեց մետաղադրամ վերցվում է պատահականության սկզբունքով: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուր գումարը կլինի ոչ ավելի, քան մեկ ռուբլի:

(Պատասխան՝ p = )

4.6. Երկու սափորը պարունակում է գնդիկներ, որոնք տարբերվում են միայն գույնով, և առաջին կարասում կա 5 սպիտակ գնդիկ՝ 11 սև և 8 կարմիր, իսկ երկրորդում՝ համապատասխանաբար 10, 8 և 6։ Երկու սափորներից պատահականորեն մեկ գնդակ է քաշվում։ . Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ նույն գույնի են:

(Պատասխան՝ p = 0,323)

4.7. A-ի և B-ի միջև խաղն անցկացվում է հետևյալ պայմաններով. առաջին քայլի արդյունքում, որը միշտ անում է Ա-ն, նա կարող է հաղթել 0,3 հավանականությամբ. եթե A-ն չի հաղթում առաջին քայլով, ապա B-ն կատարում է քայլը և կարող է հաղթել 0,5 հավանականությամբ; եթե այս քայլի արդյունքում B-ն չի հաղթում, ապա Ա-ն կատարում է երկրորդ քայլը, որը կարող է հանգեցնել նրա հաղթանակին 0,4 հավանականությամբ: Որոշեք A-ի և B-ի հաղթելու հավանականությունը:

(Պատասխան. = 0,44, = 0,35)

4.8. Տվյալ մարզիկի մեկ փորձով իր նախորդ արդյունքը բարելավելու հավանականությունը հավասար է p. Որոշեք հավանականությունը, որ մարզիկը կբարելավի իր արդյունքը մրցումներում, եթե թույլատրվի երկու փորձ:

(Պատասխան՝ p(A) = )

4.9. 1-ից n թվերով n գնդիկ պարունակող սափորից հաջորդաբար գծվում են երկու գնդակներ, որոնցից առաջինը վերադարձվում է, եթե դրա թիվը հավասար չէ մեկի: Որոշի՛ր երկրորդ անգամ 2-րդ համարի գնդակը գծելու հավանականությունը։

(Պատասխան՝ p = )

4.10. A խաղացողը խաղում է հերթափոխով B և C խաղացողների հետ՝ յուրաքանչյուր խաղում հաղթելու հավանականությունը 0,25 է, և դադարում է խաղալ առաջին պարտությունից հետո կամ յուրաքանչյուր խաղացողի հետ խաղացած երկու խաղերից հետո: Որոշեք B և C հաղթելու հավանականությունը:

4.11. Երկու հոգի հերթով մետաղադրամ են նետում: Հաղթում է նա, ով առաջինն է ստանում զինանշանը։ Որոշեք յուրաքանչյուր խաղացողի հաղթելու հավանականությունը:

(Պատասխան. )

4.12. Վոլեյբոլի երկու հավասար թիմեր խաղալու դեպքում միավոր վաստակելու հավանականությունը առանց պարտության սերվիսի հավասար է կեսին: Որոշեք սպասարկող թիմի համար մեկ միավոր ստանալու հավանականությունը:

(Պատասխան՝ p = )

4.13. Երկու հրաձիգ հերթով կրակում են թիրախի վրա մինչև առաջին հարվածը: Առաջին կրակողի համար հարվածի հավանականությունը 0,2 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,3։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին կրակողը ավելի շատ կրակոց կարձակի, քան երկրորդը:

(Պատասխան՝ p = 0,455)

4.14. Երկու խաղացող խաղում են մինչև հաղթանակ, և դրա համար առաջինին անհրաժեշտ է հաղթել m խաղեր, իսկ երկրորդին՝ n պարտիա: Առաջին խաղացողի կողմից յուրաքանչյուր խաղում հաղթելու հավանականությունը p է, իսկ երկրորդը q=1-p: Որոշեք առաջին խաղացողի հաղթելու հավանականությունը ամբողջ խաղում:

1. Առաջին տուփը պարունակում է 2 սպիտակ և 10 սև գնդակներ; Երկրորդ տուփը պարունակում է 8 սպիտակ և 4 սև գնդակներ: Յուրաքանչյուր տուփից մի գնդակ վերցվեց։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սպիտակ են:

2. Առաջին տուփը պարունակում է 2 սպիտակ և 10 սև գնդակներ; Երկրորդ տուփը պարունակում է 8 սպիտակ և 4 սև գնդակներ: Յուրաքանչյուր տուփից մի գնդակ վերցվեց։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ մի գնդակը սպիտակ է, իսկ մյուսը՝ սև։

3. Տուփում կա 6 սպիտակ և 8 սև գնդակ: Տուփից հանվում է երկու գնդակ (առանց հանված գնդակը տուփ վերադարձնելու)։ Գտեք հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սպիտակ են:

4. Երեք հրաձիգներ միմյանցից անկախ կրակում են թիրախի վրա։ Առաջին կրակողի համար թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,75 է, երկրորդի համար՝ 0,8, երրորդի համար՝ 0,9։ Որոշեք հավանականությունը, որ բոլոր երեք հրաձիգները միաժամանակ կհարվածեն թիրախին. առնվազն մեկ հրաձիգ կհարվածի թիրախին:

5. Կաթսայի մեջ կա 9 սպիտակ և 1 սև գնդակ: Միանգամից երեք գնդակ հանեցին։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ բոլոր գնդակները սպիտակ են:

6. Երեք կրակոց արձակել մեկ թիրախի ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը 0,5 է։ Գտեք հավանականությունը, որ այս կրակոցները կհանգեցնեն միայն մեկ հարվածի:

7. Երկու հրաձիգ, որոնց համար թիրախին խոցելու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,7 և 0,8 է, արձակում են մեկական կրակոց։ Որոշեք թիրախին առնվազն մեկ հարվածի հավանականությունը:

8. Հավանականությունը, որ առաջին մեքենայի վրա արտադրված մասը կլինի առաջին կարգի, 0,7 է:Երբ նույն մասը արտադրվում է երկրորդ մեքենայի վրա, այդ հավանականությունը 0,8 է: Առաջին մեքենան արտադրում էր երկու մաս, երկրորդը՝ երեք։ Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր մասերը առաջին կարգի են:

9. Սարքի աշխատանքը դադարեցվել է հինգից մեկ լամպի խափանման պատճառով . Այս լամպի հայտնաբերումը կատարվում է յուրաքանչյուր լամպի հերթափոխով նորով փոխարինելու միջոցով: Որոշեք հավանականությունը, որ դուք ստիպված կլինեք ստուգել 2 լամպեր, եթե յուրաքանչյուր լամպի խափանման հավանականությունը p = 0.2 է .

10. Կայքում ԱԲՄոտոցիկլավար-մրցարշավորդի համար կա 12 խոչընդոտ, որոնցից յուրաքանչյուրի մոտ կանգ առնելու հավանականությունը 0,1 է։ Հավանականությունը, որ կետից INդեպի վերջնական նպատակակետ ՀԵՏմոտոցիկլավարը կշարժվի առանց կանգ առնելու՝ հավասար 0,7. Որոշեք այն հավանականությունը, որ կայքում ACոչ մի կանգառ չի լինի.

11. Մեքենայի ճանապարհին 4 լուսացույց կա։ Առաջին երկուսում կանգ առնելու հավանականությունը 0,3 է, իսկ հաջորդ երկուսում՝ 0,4։ Որքա՞ն է լուսաֆորների միջով առանց կանգ առնելու հավանականությունը:

12. Մեքենայի ճանապարհին 3 լուսացույց կա։ Առաջին երկուսում կանգ առնելու հավանականությունը 0,4 է, իսկ երրորդում՝ 0,5։ Որքա՞ն է լուսացույցները մեկ կանգառով անցնելու հավանականությունը.

13. Ինտերնետ երկու սերվերներ օրական ենթարկվում են վիրուսի հարձակման վտանգի՝ 0,3 հավանականությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 2 օրում նրանց վրա ոչ մի հարձակում չի եղել։

14. Տվյալ հրաձիգի համար մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 2/3 է, եթե առաջին կրակոցի վրա հարված է գրանցվել, ապա կրակողն իրավունք ունի երկրորդ կրակոցին: Եթե ​​նա կրկին հարվածում է երկրորդ անգամ, ապա նա երրորդ անգամ է կրակում: Որքա՞ն է երեք կրակոցով հարվածելու հավանականությունը.

15. Խաղ միջեւ ԱԵվ INիրականացվում է հետևյալ պայմաններով՝ առաջին քայլի արդյունքում, որը միշտ կատարում է Ա,նա կարող է հաղթել 0,3 հավանականությամբ; եթե առաջին քայլը Աչի հաղթում, հետո քայլ է անում INև կարող է հաղթել 0,5 հավանականությամբ; եթե այս քայլի արդյունքում INուրեմն չի հաղթում Ակատարում է երկրորդ քայլը, որը կարող է հանգեցնել նրան հաղթելու 0,4 հավանականությամբ: Որոշեք հաղթելու հավանականությունը Աև համար IN.

16. Տվյալ մարզիկի մեկ փորձով իր նախորդ արդյունքը բարելավելու հավանականությունը 0,2 է . Որոշեք հավանականությունը, որ մարզիկը կբարելավի իր արդյունքը մրցումներում, եթե թույլատրվի երկու փորձ:

17. Խաղացող Ահերթափոխով երկու խաղ է խաղում խաղացողների հետ INԵվ ՀԵՏ.Առաջին խաղում հաղթելու հավանականությունները համար INԵվ ՀԵՏհավասար է 0,1 և 0,2 համապատասխանաբար; երկրորդ խաղում հաղթելու հավանականությունը INհավասար է 0,3, համար ՀԵՏհավասար է 0,4-ի։ Որոշե՛ք հավանականությունը, որ. ա) B-ն առաջինը կհաղթի. բ) առաջինը կհաղթի ՀԵՏ.

18. Սուր պարունակող անասունից Պգնդակներ 1-ից մինչև թվերով n, հաջորդաբար գծվում են երկու գնդակներ, որոնցից առաջինը վերադարձվում է, եթե նրա թիվը հավասար չէ մեկի։ Որոշի՛ր երկրորդ անգամ 2-րդ համարի գնդակը գծելու հավանականությունը։

19. Խաղացող Ահերթափոխով խաղում է B և C խաղացողների հետ՝ յուրաքանչյուր խաղում հաղթելու հավանականությունը 0,25 է, և դադարեցնում է խաղը առաջին հաղթանակից հետո կամ երկու խաղացողների հետ պարտվելուց հետո: Որոշեք B և C հաղթելու հավանականությունը:

20. Երկու հոգի հերթով մետաղադրամ են նետում: Նա, ով հաղթում է, նա է: որն առաջինը կհայտնվի զինանշանը։ Որոշեք յուրաքանչյուր խաղացողի հաղթելու հավանականությունը:

21. Սուրը պարունակում է 8 սպիտակ և 6 սև գնդակներ: Երկու խաղացող անընդմեջ մեկ գնդակ են քաշում՝ ամեն անգամ վերադարձնելով հանված գնդակը: Խաղը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև նրանցից մեկը ստանա սպիտակ գնդակը: Որոշեք հավանականությունը, որ խաղը սկսող խաղացողն առաջինը կնկարի սպիտակ գնդակը:

22. 4 արխիվից փաստաթղթեր հավաքելու համար ուղարկվել է սուրհանդակ: I-րդ արխիվում անհրաժեշտ փաստաթղթերի առկայության հավանականությունը 0,9 է; II-ում – 0,95; III-ում – 0,8; IV-ում՝ 0,6: Գտե՛ք փաստաթղթի բացակայության P հավանականությունը միայն մեկ արխիվում:

23. Գտե՛ք հաշվողական սարքի երեք ինքնուրույն գործող տարրերից երկուսի ձախողման հավանականությունը, եթե համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և երրորդ տարրերի խափանման հավանականությունը 0,3, 0,5, 0,4 է:

24. Վանդակում կա 8 սպիտակ և 4 մոխրագույն մուկ: Երեք մուկ պատահականորեն ընտրվում են լաբորատոր փորձաքննության համար և չեն վերադարձվում: Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր երեք մկները սպիտակ են:

25. Վանդակում կա 8 ծովախոզուկ։ Նրանցից երեքը տառապում են հանքային աղերի նյութափոխանակության խախտմամբ։ Երեք անասուն հերթով դուրս են հանում առանց վերադառնալու։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրանք առողջ են։

26. Լճակը պարունակում է 12 կարաս, 18 ցախ և 10 կարաս: Երեք ձուկ բռնեցին։ Գտեք հավանականությունը, որ դուք իրար հաջորդաբար բռնել եք երկու կարպ և ​​մեկ կարաս:

27. Նախիրում կա 12 կով, որից 4-ը՝ սիմենտալ, մնացածը՝ Գալշտեյն-Ֆրիզյան ցեղատեսակներ։ Բուծման աշխատանքների համար ընտրվել են երեք կենդանիներ. Գտե՛ք հավանականությունը, որ երեքն էլ սիմենտալ ցեղատեսակներ են։

28. Հիպոդրոմում կա 10 դափնու ձի, 3 մոխրագույն և 7 սպիտակ: Մրցավազքի համար պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 2 ձի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրանց մեջ սպիտակ ձի չկա։

29. Շունը պարունակում է 9 շներ, որոնցից 3-ը կոլլիներ են, 2-ը՝ բռնցքամարտիկներ, մնացածը՝ գրեյթ դանիներ։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվում են երեք շներ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրանցից գոնե մեկը բռնցքամարտիկ է։

30. Կենդանիների միջին սերունդը 4 է։ Հավասարապես հավանական է էգ և արու առանձնյակների տեսքը։ Գտեք հավանականությունը, որ սերունդը պարունակում է երկու արու:

31. Պայուսակը պարունակում է սերմեր, որոնց բողբոջման արագությունը 0,85 է։ Բույսի ծաղկման հավանականությունը 0,9 է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահական սերմերից աճեցված բույսը կծաղկի:

32. Պայուսակը պարունակում է լոբի սերմեր, որոնց բողբոջման արագությունը 0,9 է։ Լոբի ծաղիկների կարմիր լինելու հավանականությունը 0,3 է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված սերմից բույսը կարմիր ծաղիկներ ունենա:

33. Հաջորդ ամսվա ընթացքում պատահականության սկզբունքով ընտրված անձի հոսպիտալացման հավանականությունը 0,01 է: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ փողոցում պատահականության սկզբունքով ընտրված երեք հոգուց հաջորդ մեկ ամսվա ընթացքում հիվանդանոց կընդունվի հենց մեկը։

34. Կթվորուհին սպասարկում է 4 կով: Առաջին կովի մոտ մեկ ամսվա ընթացքում մաստիտով հիվանդանալու հավանականությունը 0,1 է, երկրորդինը՝ 0,2, երրորդինը՝ 0,2, չորրորդինը՝ 0,15։ Գտեք հավանականությունը, որ մեկ ամսվա ընթացքում գոնե մեկ կով հիվանդանա մաստիտով։

35. Չորս որսորդներ համաձայնեցին հերթով կրակել որսի վրա։ Հաջորդ որսորդը կրակում է միայն այն դեպքում, եթե նախորդը վրիպում է: Յուրաքանչյուր որսորդի թիրախին հարվածելու հավանականությունը նույնն է և հավասար է 0,8-ի։ Գտեք հավանականությունը, որ երեք կրակոց կարձակվի:

36. Ուսանողը սովորում է քիմիա, մաթեմատիկա և կենսաբանություն: Նա գնահատում է, որ այս դասընթացներում A ստանալու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,5, 0,3 և 0,4 է։ Ենթադրելով, որ այս դասընթացների գնահատականները անկախ են, գտե՛ք հավանականությունը, որ նա ոչ մի «գերազանց» չի ստանա։

37. Աշակերտը գիտի ծրագրի 25 հարցից 20-ը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա գիտի քննողի կողմից իրեն առաջարկված ծրագրի բոլոր երեք հարցերը։

38. Երկու որսորդ կրակում են գայլի վրա, յուրաքանչյուրը մեկ կրակոց է արձակում: Առաջին և երկրորդ որսորդի՝ թիրախին խոցելու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,7 և 0,8 է։ Որքա՞ն է գայլին գոնե մեկ կրակոցով հարվածելու հավանականությունը։

39. Առնվազն մեկ անգամ երեք կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը որոշ կրակողի մոտ 0,875 է: Գտեք մեկ կրակոցով հարվածելու հավանականությունը:

40. Նախիրից ընտրվում են բարձր արտադրողականությամբ կովերը: Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված կենդանին կլինի բարձր արտադրողականություն, 0,2 է: Գտեք հավանականությունը, որ ընտրված երեք կովերից միայն երկուսը կլինեն բարձր արտադրողականություն:

41. Առաջին վանդակում կան 3 սպիտակ և 4 մոխրագույն նապաստակներ, երկրորդ վանդակում՝ 7 սպիտակ և 5 սև նապաստակներ։ Յուրաքանչյուր վանդակից պատահականորեն վերցրել են մեկ նապաստակ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու նապաստակները սպիտակ են:

42. Կենդանիների խմբում ուսումնասիրվել է երկու պատվաստանյութի արդյունավետությունը: Երկու պատվաստանյութերն էլ կարող են ալերգիա առաջացնել կենդանիների մոտ՝ 0,2 հավասար հավանականությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ պատվաստանյութերը ալերգիա չեն առաջացնի:

43. Ընտանիքում երեք երեխա կա. Տղայի և աղջկա ծննդյան դեպքերը հավասարապես հավանական համարելով, գտե՛ք հավանականությունը, որ ընտանիքում բոլոր երեխաները նույն սեռի են։

44. Հոկտեմբերից տվյալ տարածքում կայուն ձյան ծածկույթի հաստատման հավանականությունը 0,1 է: Որոշել հավանականությունը, որ առաջիկա երեք տարիներին այս տարածքում հոկտեմբերից գոնե մեկ անգամ կստեղծվի կայուն ձյան ծածկ։

45. Որոշե՛ք պատահականության սկզբունքով ընտրված ապրանքի առաջին կարգի լինելու հավանականությունը, եթե հայտնի է, որ բոլոր ապրանքների 4%-ը թերի է, իսկ ոչ թերի արտադրանքի 75%-ը համապատասխանում է առաջին կարգի պահանջներին:

46. ​​Երկու հրաձիգ, որոնց համար թիրախին խոցելու հավանականությունը համապատասխանաբար 0,7 և 0,8 է, արձակում են մեկական կրակոց։ Որոշեք թիրախին առնվազն մեկ հարվածի հավանականությունը:

47. Յուրաքանչյուր փորձի ժամանակ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը նույնն է և հավասար է 0,2-ի: Փորձերն իրականացվում են հաջորդաբար, մինչև իրադարձությունը տեղի ունենա: Որոշեք հավանականությունը, որ դուք ստիպված կլինեք կատարել չորրորդ փորձը:

48. Հավանականությունը, որ առաջին մեքենայի վրա արտադրված մասը կլինի առաջին կարգի, 0,7 է: Նույն մասը երկրորդ մեքենայի վրա արտադրելիս այս հավանականությունը 0,8 է: Առաջին մեքենան արտադրում էր երկու մաս, երկրորդը՝ երեք։ Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր մասերը առաջին կարգի են:

49. Էլեկտրական շղթայի խզումը կարող է առաջանալ, երբ տարրը կամ երկու տարրը խափանում են, որոնք խափանում են միմյանցից անկախ, համապատասխանաբար, 0,3 հավանականությամբ. 0.2 և 0.2: Որոշեք էլեկտրական շղթայի խզման հավանականությունը:

50. Սարքի աշխատանքը դադարեցվել է 10-ից մեկ լամպի խափանման պատճառով: Այս լամպի հայտնաբերումը կատարվում է յուրաքանչյուր լամպի հերթափոխով նորով փոխարինելու միջոցով: Որոշեք հավանականությունը, որ 7 լամպ պետք է ստուգվի, եթե յուրաքանչյուր լամպի խափանման հավանականությունը 0,1 է:

51. Էլեկտրական շղթայում լարման անվանական արժեքը գերազանցելու հավանականությունը 0,3 է: Բարձրացված լարման դեպքում էլեկտրական հոսանք սպառող սարքի վթարի հավանականությունը 0,8 է։ Որոշեք լարման բարձրացման պատճառով սարքի խափանման հավանականությունը:

52. Տվյալ հրաձողի համար առաջին թիրախը խոցելու հավանականությունը 2/3 է։ Եթե ​​առաջին կրակոցի վրա հարված է գրանցվում, ապա հրաձիգն իրավունք է ստանում կրակել այլ թիրախի վրա։ Երկու թիրախները երկու կրակոցով խոցելու հավանականությունը 0,5 է։ Որոշեք երկրորդ թիրախին խոցելու հավանականությունը:

53. Վեց քարտերի օգնությամբ, որոնց վրա գրված է մեկ տառ, կազմվում է «կառք» բառը։ Քարտերը խառնվում են, իսկ հետո հերթով հանվում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ «հրթիռ» բառը կազմվել է տառերի առաջացման հերթականությամբ:

54. Բաժանորդը մոռացել է հեռախոսահամարի վերջին նիշը և հետևաբար այն հավաքում է պատահականության սկզբունքով: Որոշեք հավանականությունը, որ նա ստիպված կլինի զանգահարել ոչ ավելի, քան երեք տեղ:

55. Չորս անհամատեղելի իրադարձություններից յուրաքանչյուրը կարող է տեղի ունենալ համապատասխանաբար 0,012 հավանականությամբ; 0,010; 0,006 և 0,002: Որոշեք հավանականությունը, որ այդ իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի կունենա փորձի արդյունքում:

56. Որքա՞ն է հավանականությունը 52 քարտերից բաղկացած տախտակամածից որևէ կոստյումի կամ բահերի քարտ նկարելու հավանականությունը (նկարը կոչվում է ջեք, թագուհի կամ թագավոր):

57. Տուփը պարունակում է 10 մետաղադրամ 20 կոպեկանոց, 5 մետաղադրամ 15 կոպեկանոց: եւ 10 կոպեկանոց 2 մետաղադրամ։ Պատահականության սկզբունքով վերցված է 6 մետաղադրամ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուր գումարը կլինի ոչ ավելի, քան մեկ ռուբլի:

58. Երկու կարասի մեջ կան գնդիկներ՝ առաջինում՝ 5 սպիտակ, 11 սև և 8 կարմիր, իսկ երկրորդում՝ համապատասխանաբար 10, 8 և 6։ Երկու սափորներից պատահականորեն մեկ գնդակ է քաշվում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ նույն գույնի են:

59. Տվյալ մարզիկի համար մեկ փորձով իր նախորդ արդյունքը բարելավելու հավանականությունը 0,4 է: Որոշեք հավանականությունը, որ մարզիկը կբարելավի իր արդյունքը մրցումներում, եթե թույլատրվի երկու փորձ:

Տարբերակ 9

1. 6 միանման քարտերից յուրաքանչյուրի վրա տպված է հետևյալ տառերից մեկը՝ o, g, o, r, o, d: Քարտերը մանրակրկիտ խառնվում են: Գտեք հավանականությունը, որ դրանք իրար հաջորդող դնելով հնարավոր կլինի կարդալ «բանջարանոց» բառը։

2. Տվյալ մարզիկի համար 1 փորձից իր նախորդ արդյունքը բարելավելու հավանականությունը 0,6 է։ Որոշեք հավանականությունը, որ մարզիկը կբարելավի իր արդյունքը մրցումներում, եթե նրան թույլ տրվի կատարել 2 փորձ:

3. Առաջին տուփը պարունակում է 20 մաս, որից 15-ը՝ ստանդարտ; երկրորդում `30 մաս, որից 24-ը ստանդարտ; երրորդում կա 10 մաս, որից 6-ը՝ ստանդարտ։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն վերցված տուփից պատահականորեն վերցված մասը ստանդարտ է:

4. Խնդիրներ լուծեք Բեռնուլիի բանաձևով և Մոիվրե-Լապլասի թեորեմով. ա) հաղորդագրություն փոխանցելիս 1 նիշի աղավաղման հավանականությունը 0,24 է։ Որոշեք հավանականությունը, որ 10 նիշանոց հաղորդագրությունը պարունակում է ոչ ավելի, քան 3 աղավաղումներ.

բ) Տնկվել է 400 ծառ. Առանձին ծառի արմատանալու հավանականությունը 0,8 է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ գոյատևած ծառերի թիվը՝ 1) 300 է. 2) 310-ից ավելի, բայց 330-ից պակաս.

5. Օգտագործելով աղյուսակային տվյալները՝ հաշվարկեք X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը, ինչպես նաև որոշեք հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը սպասվածից ավելի մեծ արժեք կստանա:

6. Շարունակական պատահական X փոփոխականը նշվում է բաշխման ֆունկցիայով

Գտեք՝ ա) պարամետր k; բ) մաթեմատիկական ակնկալիք; գ) դիսպերսիա.

7. Սոցիոլոգիական կազմակերպությունը հարցում է անցկացնում ձեռնարկության աշխատակիցների շրջանում՝ պարզելու նրանց վերաբերմունքը ձեռնարկության ղեկավարության կողմից իրականացվող կառուցվածքային վերակազմակերպմանը: Ենթադրելով, որ կառուցվածքային վերափոխումներից գոհ մարդկանց մասնաբաժինը նկարագրված է նորմալ բաշխման օրենքով a = 53.1% և σ = 3.9% պարամետրերով, գտնենք հավանականությունը, որ փոխակերպումներից գոհ մարդկանց մասնաբաժինը կլինի 50% -ից ցածր:

8. Ընդհանուր բնակչությունից հանվել է նմուշ, որը ներկայացված է ինտերվալային տատանումների շարքի տեսքով (տես աղյուսակ). γ = 0,95 հավանականություն; բ) պարզեցված մեթոդով հաշվարկել թեքության և կուրտոզի գործակիցները և կատարել համապատասխան ենթադրություններ բնակչության բաշխման ֆունկցիայի ձևի վերաբերյալ. գ) օգտագործելով Պիրսոնի չափանիշը, փորձարկեք պոպուլյացիայի բաշխման նորմալության մասին վարկածը α = 0,05 նշանակության մակարդակով:

9. Հաշվի առնելով X և Y արժեքների հարաբերակցության աղյուսակը. ա) հաշվարկեք հարաբերակցության գործակիցը r xy, եզրակացություններ արեք X և Y հարաբերությունների վերաբերյալ. բ) գտնել X-ի գծային ռեգրեսիայի հավասարումները Y-ի և Y-ի վրա X-ի վրա, ինչպես նաև կառուցել դրանց գրաֆիկները: