Eelmise tulemuse parandamise tõenäosus. Iseseisvalt lahendatavad probleemid

, Vene Föderatsiooni kriminaalmenetluse seadustik alates 18.1.rtf, Vene Föderatsiooni tervishoiualaste õigusaktide alused, EIÕK. Individuaalkaebuse esitamise õiguslik mehhanism ja juriidiline .

Tund 4. Tõenäosuste liitmise teoreem.

14.1. Lühike teoreetiline osa

P( A+IN) = P( A)+P( B) - R( AB),

mis üldistab suvalise arvu sündmuste summaks

Kokkusobimatute sündmuste korral on sündmuste summa tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, s.o.

24.2. Test

1. 
   Millisel juhul nimetatakse sündmusi A ja B kokkusobimatuks või kokkusobimatuks?

b) Kui testi ajal leiab aset vähemalt üks neist sündmustest

c) Kui nende sündmuste ühine esinemine on võimatu

d) Kui mõlemad sündmused toimuvad katse ajal

1. 
   Määrake ühilduvad sündmused.

b) Sama õpilase samaaegne viibimine loengus klassiruumis ja kinos

c) Kevade algus kalendri järgi ja lumesadu

d) Kolme punkti ilmumine kahe täringu visatud poolel ja mõlema täringu pooltel olevate punktide summa võrdsus paaritu arvuga

e) Jalgpallimatši näitamine ühel telekanalil ja uudiste edastamine teisel telekanalil

1. 
   Kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem on sõnastatud järgmiselt:

b) Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga

c) Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste toimumise tõenäosuste erinevusega

1. 
   Ühissündmuste tõenäosuste liitmise teoreem on sõnastatud järgmiselt:

b) Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta

c) Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste ja nende ühise toimumise tõenäosuse summaga

1. 
   Tõenäosuste liitmise teoreem üldistatakse suvalise arvu sündmuste summaks ja sündmuste summa tõenäosus üldkujul arvutatakse valemiga:

1. 
   Kui sündmused ei ühildu, on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne:

b)
V)

34.3. Tüüpiliste probleemide lahendamine

KOOS, mis seisneb selles, et juhuslikult valitud poole kogu partiist testimisel võetakse vastu sajast tootest koosnev partii, sealhulgas viis defektset.

Tähistagem poolt A sündmus, mis seisnes selles, et testimise käigus ei saadud kätte ühtegi defektiga toodet ja läbi IN- juhul, kui saabub ainult üks defektiga toode.

Kuna C=A+B, siis soovitud tõenäosus P(C) = P( A+B).

Sündmused A Ja IN Sobimatu. Seetõttu P(C) = P( A)+ P( B).

100 toote hulgast saab 50 erineval viisil valida. 95 defektita tootest saab meetoditega valida 50.

Seetõttu P( A)=.

Sarnane P( B)= .

P(C) = P( A)+ P( B)=+==0,181.
Näide 4.2. Elektriahel punktide vahel M Ja N koostatud vastavalt joonisel fig. 5.

Ebaõnnestumine aja jooksul T ahela erinevad elemendid – sõltumatud sündmused järgmiste tõenäosustega (tabel 1).

Tabel 1

Element K 1 K 2 L 1 L 2 L 3 Tõenäosus0,60,50,40,70,9 Määrake vooluringi katkemise tõenäosus kindlaksmääratud aja jooksul.
Lahendus.
Tutvustame üritust KOOS, mis seisneb selles, et määratud aja jooksul tekib vooluringis katkestus.

Tähistagem poolt A j (j= 1.2) sündmus, mis seisneb elemendi rikkes TO j, läbi A- vähemalt ühe elemendi rike TO j, ja läbi IN- kõigi kolme elemendi rike A i (i=1, 2, 3).

Siis soovitud tõenäosus

R( KOOS) = P( A + IN) = P( A) + P( IN) - R( A)R( B).

R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,

R( IN) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,

See.
Näide 4.3. Urn sisaldab n valge, m must ja l punased pallid, mis loositakse juhuslikult ükshaaval:

a) tagastamata;

b) tagastamisega pärast iga ekstraheerimist.

Mõlemal juhul määrake tõenäosus, et valge pall tõmmatakse enne musta.
Lahendus.

Lase R 1 on tõenäosus, et valge pall tõmmatakse enne musta, ja R 11 - tõenäosus, et must pall tõmmatakse enne valget.

Tõenäosus R 1 on valge palli tõmbamise tõenäosuste summa kohe pärast ühe punase, kahe punase jne tõmbamist. Seega saame kirjutada juhul, kui palle ei tagastata,

ja kui pallid tagasi tulevad

Tõenäosuste saamiseks R 11 eelmistes valemites peate tegema asendus n peal m, A m peal n. Sellest järeldub, et mõlemal juhul R 1 :R 11 = n:m. Kuna lisaks R 1 +R 11 = 1, siis on ka nõutav tõenäosus pallide eemaldamisel ilma tagastamata.
Näide 4.4. Keegi kirjutas n kirju, pitseeris need ümbrikutesse ja kirjutas seejärel juhuslikult igaühele erineva aadressi. Määrake tõenäosus, et vähemalt ühele ümbrikule on kirjutatud õige aadress.
Lahendus.

Las sündmus A k kas see on peal k- ümbrik sisaldab õiget aadressi ( k= l, 2,..., n).

Soovitud tõenäosus.

Sündmused A k liigend; mis tahes erineva jaoks k, j, i, ... kehtivad järgmised võrdsused:

Kasutades summa tõenäosuse valemit n sündmused, saame

Üldiselt n.

44.4. Ülesanded iseseisvaks tööks

(Vastus: p = 0,03)
4.2. Laskja laseb ühe lasu sihtmärgi pihta, mis koosneb keskringist ja kahest kontsentrilisest rõngast. Ringi ja rõnga tabamise tõenäosus on vastavalt 0,20, 0,15 ja 0,10. Määrake sihtmärgist ilmajäämise tõenäosus.

(Vastus: p = 0,55)
4.3. Kaks ühesuguse raadiusega münti r asub raadiusega ringi sees R, millesse visatakse juhuslikult punkt. Määrake tõenäosus, et see punkt langeb ühele mündile, kui mündid ei kattu.

(Vastus: p =)
4.4. Kui suur on tõenäosus tõmmata 52 kaardist koosnevast pakist suvalise masti kuju või labidakaart (figuuri nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks)?

(Vastus: p =)
4.5. Karbis on 10 20-kopikalist münti, 5 15-kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Kuus münti võetakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et kogusumma ei ületa ühte rubla?

(Vastus: p =)
4.6. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ja esimeses urnis on 5 valget palli, 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. . Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

(Vastus: p = 0,323)
4.7. Mäng vahel A Ja B viiakse läbi järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mis alati teeb A, võib ta võita tõenäosusega 0,3; kui esimene käik A ei võida, siis teeb käigu IN ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena IN siis ei võida A teeb teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake võidu tõenäosus A ja eest IN.

(Vastus: = 0,44, = 0,35)
4.8. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel on R. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma tulemust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

(Vastus: p(A) =)
4.9. Urnist, mis sisaldab n pallid numbritega 1 kuni n, loositakse järjestikku kaks palli, kusjuures esimene pall tagastatakse, kui selle number ei ole üks. Määrake tõenäosus, et pall number 2 loositakse teist korda.

(Vastus: p =)
4.10. Mängija A mängib kordamööda mängijatega IN Ja KOOS, mille võidu tõenäosus on igas mängus 0,25 ja peatab mängu pärast esimest kaotust või pärast iga mängijaga mängitud kahte mängu. Määrake võidu tõenäosus IN Ja KOOS.

(Vastus: )
4.11. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. Võidab see, kes saab esimesena vapi. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

(Vastus: )
4.12. Tõenäosus saada punkt ilma servi kaotamata, kui mängivad kaks võrdset võrkpallimeeskonda, on võrdne poolega. Määrake serveeriva meeskonna ühe punkti saamise tõenäosus.

(Vastus: p =)
4.13. Kaks laskurit lasevad kordamööda sihtmärki kuni esimese tabamuseni. Esimese laskuri tabamuse tõenäosus on 0,2 ja teisel 0,3. Leidke tõenäosus, et esimene tulistaja teeb rohkem lasku kui teine.

(Vastus: p = 0,455)
4.14. Kaks mängijat mängivad võiduni ja selleks peab võitma esimene T pooled ja teine P peod. Tõenäosus, et esimene mängija võidab iga mängu, on R, ja teine q=1-R. Määrake tõenäosus, et esimene mängija võidab kogu mängu.

(Vastus: p(A) =)

4.1. Kõik neli kokkusobimatut sündmust võivad esineda vastavalt tõenäosustega 0,012, 0,010, 0,006 ja 0,002. Määrake tõenäosus, et vähemalt üks neist sündmustest leiab aset katse tulemusena.

(Vastus: p = 0,03)

4.2. Laskja laseb ühe lasu sihtmärgi pihta, mis koosneb keskringist ja kahest kontsentrilisest rõngast. Ringi ja rõnga tabamise tõenäosus on vastavalt 0,20, 0,15 ja 0,10. Määrake sihtmärgist ilmajäämise tõenäosus.

(Vastus: p = 0,55)

4.3. Kaks identset raadiusega r münti asuvad raadiusega R ringi sees, millesse punkt visatakse juhuslikult. Määrake tõenäosus, et see punkt langeb ühele mündile, kui mündid ei kattu.

(Vastus: p = )

4.4. Kui suur on tõenäosus tõmmata 52 kaardist koosnevast pakist suvalise masti kuju või labidakaart (figuuri nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks)?

(Vastus: p = )

4.5. Karbis on 10 20-kopikalist münti, 5 15-kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Kuus münti võetakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et kogusumma ei ületa ühte rubla?

(Vastus: p = )

4.6. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ja esimeses urnis on 5 valget palli, 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. . Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

(Vastus: p = 0,323)

4.7. Mängu A ja B vahel mängitakse järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mille A alati teeb, võib ta võita tõenäosusega 0,3; kui A ei võida esimese käiguga, siis B sooritab käigu ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena B ei võida, teeb A teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake A ja B võidu tõenäosus.

(Vastus: = 0,44, = 0,35)

4.8. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on võrdne p. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma tulemust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

(Vastus: p(A) = )

4.9. Urnist, mis sisaldab n palli numbritega 1 kuni n, tõmmatakse järjestikku kaks palli, kusjuures esimene pall tagastatakse, kui selle arv ei ole võrdne ühega. Määrake tõenäosus, et pall number 2 loositakse teist korda.

(Vastus: p = )

4.10. Mängija A mängib vaheldumisi mängijatega B ja C, tõenäosus võita igas mängus 0,25, ja lõpetab mängimise pärast esimest kaotust või pärast kahte iga mängijaga mängitud mängu. Määrake B ja C võitmise tõenäosus.

4.11. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. Võidab see, kes saab esimesena vapi. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

(Vastus: )

4.12. Tõenäosus saada punkt ilma servi kaotamata, kui mängivad kaks võrdset võrkpallimeeskonda, on võrdne poolega. Määrake serveeriva meeskonna ühe punkti saamise tõenäosus.

(Vastus: p = )

4.13. Kaks laskurit lasevad kordamööda sihtmärki kuni esimese tabamuseni. Esimese laskuri tabamuse tõenäosus on 0,2 ja teisel 0,3. Leidke tõenäosus, et esimene tulistaja teeb rohkem lasku kui teine.

(Vastus: p = 0,455)

4.14. Kaks mängijat mängivad võiduni ja selleks peab esimene võitma m ja teine ​​n mängu. Tõenäosus, et esimene mängija võidab iga mängu, on p ja teine ​​q=1-p. Määrake tõenäosus, et esimene mängija võidab kogu mängu.

1. Esimeses karbis on 2 valget ja 10 musta palli; Teises karbis on 8 valget ja 4 musta palli. Igast kastist võeti pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on valged?

2. Esimeses karbis on 2 valget ja 10 musta palli; Teises karbis on 8 valget ja 4 musta palli. Igast kastist võeti pall. Kui suur on tõenäosus, et üks pall on valge ja teine ​​must?

3. Karbis on 6 valget ja 8 musta palli. Kastist võetakse välja kaks palli (ilma eemaldatud palli kasti tagastamata). Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

4. Kolm laskurit lasevad märklauda üksteisest sõltumatult. Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,75, teisel – 0,8, kolmandal – 0,9. Määrake tõenäosus, et kõik kolm laskurit tabavad sihtmärki korraga; vähemalt üks laskur tabab sihtmärki.

5. Urnis on 9 valget ja 1 must kuul. Kolm palli võeti korraga välja. Kui suur on tõenäosus, et kõik pallid on valged?

6. Laske kolm lasku ühte märklauda. Iga lasu tabamise tõenäosus on 0,5. Leidke tõenäosus, et need löögid annavad ainult ühe tabamuse.

7. Kaks laskurit, kelle märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad kumbki ühe lasu. Määrake vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

8. Tõenäosus, et esimesel masinal toodetud detail on esmaklassiline, on 0,7 Kui sama detaili toodetakse teisel masinal, on see tõenäosus 0,8. Esimene masin valmistas kaks osa, teine ​​kolm. Leidke tõenäosus, et kõik osad on esmaklassilised.

9. Seadme töö seiskus ühe lambi viiest rikke tõttu . Selle lambi leidmiseks vahetatakse iga lamp kordamööda uue vastu. Määrake tõenäosus, et peate kontrollima 2 lambid, kui iga lambi rikke tõenäosus on p = 0,2 .

10. Saidil AB Mootorratturi-võidusõitja jaoks on 12 takistust, igaühel peatumise tõenäosus on 0,1. Tõenäosus, et punktist IN lõppsihtkohta KOOS mootorrattur sõidab peatumata, võrdub 0,7. Määrake tõenäosus, et saidil AC ei tule ainsatki peatust.

11. Auto teel on 4 foori. Esimesel kahel peatumise tõenäosus on 0,3 ja kahel järgmisel on 0,4. Kui suur on tõenäosus, et sõidate fooridest läbi ilma peatumata?

12. Auto teel on 3 foori. Esimesel kahel peatumise tõenäosus on 0,4 ja kolmandal 0,5. Kui suur on tõenäosus ühe peatusega foorist mööda minna?

13. Kaks Interneti-serverit on päevas 0,3 tõenäosusega avatud viiruse rünnaku ohule. Kui suur on tõenäosus, et 2 päeva jooksul ei toimunud neile ühtegi rünnakut?

14. Ühe lasuga märklaua tabamise tõenäosus antud laskuril on 2/3 Kui tabamus fikseeritakse esimesel lasul, siis on laskuril õigus teisele. Kui ta tabab teist korda uuesti, laseb ta kolmandat korda. Kui suur on tõenäosus tabada kolme lasuga?

15. Mäng vahel A Ja IN viiakse läbi järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mis alati teeb A, ta võib võita tõenäosusega 0,3; kui esimene käik A ei võida, siis teeb käigu IN ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena IN siis ei võida A teeb teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake võidu tõenäosus A ja eest IN.

16. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on 0,2 . Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma tulemust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

17. Mängija A mängib vaheldumisi mängijatega kahte mängu IN Ja KOOS. Esimese mängu võidu tõenäosus IN Ja KOOS võrdne vastavalt 0,1 ja 0,2; teise mängu võidu tõenäosus IN on võrdne 0,3, jaoks KOOS võrdne 0,4. Määrake tõenäosus, et: a) B võidab esimesena; b) võidab esimesena KOOS.

18. Urnist, mis sisaldab P pallid numbritega 1 kuni n, tõmmatakse järjestikku kaks palli, millest esimene tagastatakse, kui selle arv ei ole võrdne ühega. Määrake tõenäosus, et pall number 2 loositakse teist korda.

19. Mängija A mängib vaheldumisi mängijatega B ja C, kusjuures võidu tõenäosus on igas mängus 0,25 ja peatab mängu pärast esimest võitu või pärast kaht kaotatud mängu kummagi mängijaga. Määrake B ja C võitmise tõenäosus.

20. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. See, kes võidab, on see. mille vapp ilmub esimesena. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

21. Urnis on 8 valget ja 6 musta palli. Kaks mängijat tõmbavad järjest ühe palli, tagastades eemaldatud palli iga kord. Mäng jätkub, kuni üks neist saab valge palli. Määrake tõenäosus, et mängu alustav mängija tõmbab esimesena valge palli.

22. 4 arhiivist saadeti dokumente korjama kuller. Tõenäosus vajalike dokumentide olemasoluks I-ndas arhiivis on 0,9; II-s – 0,95; III-s – 0,8; IV-s – 0,6. Leia tõenäosus P, et dokument puudub ainult ühes arhiivis.

23. Leidke tõenäosus, et arvutusseadme kolmest sõltumatult töötavast elemendist kaks ebaõnnestuvad, kui esimese, teise ja kolmanda elemendi rikke tõenäosus on vastavalt 0,3, 0,5, 0,4.

24. Puuris on 8 valget ja 4 halli hiirt. Kolm hiirt valitakse juhuslikult laboratoorseteks testideks ja neid ei tagastata. Leidke tõenäosus, et kõik kolm hiirt on valged.

25. Puuris on 8 merisiga. Kolm neist kannatavad mineraalsoolade metabolismi häirete all. Kolm looma viiakse järjest välja ilma tagasi pöördumata. Kui suur on tõenäosus, et nad on terved?

26. Tiigis on 12 ristikarpkala, 18 latikat ja 10 karpkala. Püüti kolm kala. Leidke tõenäosus, et püüdsite järjest kaks karpkala ja ristikarp.

27. Karjas on 12 lehma, kellest 4 on simmentali tõugu, ülejäänud galsteini-friisi tõugu. Aretustööle valiti kolm looma. Leidke tõenäosus, et kõik kolm neist on simmentali tõud.

28. Hipodroomil on 10 lahehobust, 3 kirjut halli ja 7 valget. Võistlusele valiti juhuslikult 2 hobust. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas pole valget hobust?

29. Kennelis on 9 koera, kellest 3 on kollid, 2 on bokserid, ülejäänud on dogid. Kolm koera valitakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks neist on poksija?

30. Loomade keskmine järglane on 4. Emas- ja isaste isendite ilmumine on võrdselt tõenäoline. Leidke tõenäosus, et järglas on kaks isast.

31. Kotis on seemned, mille idanevus on 0,85. Tõenäosus, et taim õitseb, on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikust seemnest kasvanud taim õitseb?

32. Kotis on oaseemned, mille idanemismäär on 0,9. Tõenäosus, et oaõied on punased, on 0,3. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud seemnest pärit taimel on punased õied?

33. Tõenäosus, et juhuslikult valitud inimene satub järgmise kuu jooksul haiglasse, on 0,01. Kui suur on tõenäosus, et kolmest juhuslikult tänaval valitud inimesest satub järgmise kuu jooksul haiglasse täpselt üks?

34. Lüpsja teenindab 4 lehma. Tõenäosus haigestuda mastiidi kuu jooksul esimesel lehmal on 0,1, teisel – 0,2, kolmandal – 0,2, neljandal – 0,15. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks lehm haigestub kuu aja jooksul mastiidi.

35. Neli jahimeest nõustusid kordamööda ulukite tulistamisega. Järgmine jahimees teeb lasu ainult siis, kui eelmine eksib. Tõenäosus, et iga jahimees tabab sihtmärki, on sama ja võrdne 0,8-ga. Leidke tõenäosus, et tehakse kolm lasku.

36. Õpilane õpib keemiat, matemaatikat ja bioloogiat. Tema hinnangul on nendel kursustel A saamise tõenäosus vastavalt 0,5, 0,3 ja 0,4. Eeldades, et nende kursuste hinded on sõltumatud, leidke tõenäosus, et ta ei saa ühtegi "suurepärast" hinnet.

37. Õpilane teab programmi 25 küsimusest 20. Kui suur on tõenäosus, et ta teab kõiki kolme eksamineerija pakutud programmi küsimust?

38. Kaks jahimeest lasevad hundi pihta, kumbki ühe lasu. Esimese ja teise jahimehe sihtmärgi tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Kui suur on tõenäosus hundile vähemalt ühe lasuga pihta saada?

39. Tõenäosus tabada sihtmärki kolme lasuga vähemalt korra mõne laskuri puhul on 0,875. Leia ühe löögiga tabamuse tõenäosus.

40. Karjast valitakse välja kõrge tootlikkusega lehmad. Tõenäosus, et juhuslikult valitud loom on väga produktiivne, on 0,2. Leidke tõenäosus, et kolmest valitud lehmast on ainult kaks kõrge tootlikkusega.

41. Esimeses puuris on 3 valget ja 4 halli jänest, teises puuris 7 valget ja 5 musta jänest. Igast puurist võeti juhuslikult üks küülik. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad küülikud on valged?

42. Kahe vaktsiini efektiivsust uuriti loomade rühmas. Mõlemad vaktsiinid võivad tekitada loomadel allergiat võrdse tõenäosusega 0,2. Leidke tõenäosus, et vaktsiinid ei põhjusta allergiat.

43. Peres kasvab kolm last. Eeldades, et poisi ja tüdruku sündimine on võrdselt tõenäoline, leidke tõenäosus, et kõik pere lapsed on samast soost.

44. Stabiilse lumikatte tekkimise tõenäosus antud piirkonnas alates oktoobrist on 0,1. Määrake tõenäosus, et järgmise kolme aasta jooksul tekib sellel alal alates oktoobrist vähemalt korra stabiilne lumikate.

45. Määrake tõenäosus, et juhuslikult valitud toode on esmaklassiline, kui on teada, et 4% kõigist toodetest on defektsed ja 75% defektita toodetest vastab esimese klassi nõuetele.

46. ​​Kaks laskurit, kelle märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad kumbki ühe lasu. Määrake vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

47. Sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on sama ja võrdne 0,2-ga. Katsed viiakse läbi järjestikku kuni sündmuse toimumiseni. Määrake tõenäosus, et peate tegema neljanda katse.

48. Tõenäosus, et esimesel masinal toodetud detail on esmaklassiline, on 0,7. Sama detaili teisel masinal valmistamisel on see tõenäosus 0,8. Esimene masin valmistas kaks osa, teine ​​kolm. Leidke tõenäosus, et kõik osad on esmaklassilised.

49. Elektriahela katkestus võib tekkida siis, kui rikki läheb üks või kaks elementi ja üksteisest sõltumatult, tõenäosusega 0,3; 0,2 ja 0,2. Määrake elektriahela katkemise tõenäosus.

50. Seadme töö seiskus ühe lambi 10-st rikke tõttu. Selle lambi leidmiseks vahetatakse iga lamp kordamööda uue vastu. Määrake tõenäosus, et tuleb kontrollida 7 lampi, kui iga lambi rikke tõenäosus on 0,1.

51. Tõenäosus, et pinge elektriahelas ületab nimiväärtuse, on 0,3. Suurenenud pinge korral on elektrivoolu tarbiva seadme õnnetuse tõenäosus 0,8. Määrake seadme rikke tõenäosus suurenenud pinge tõttu.

52. Esimese märklaua tabamise tõenäosus antud laskuri puhul on 2/3. Kui tabamus fikseeritakse esimesel lasul, siis saab laskur õiguse lasta teisele märklauale. Tõenäosus tabada mõlemat märklauda kahe lasuga on 0,5. Määrake teise sihtmärgi tabamise tõenäosus.

53. Kuue kaardi abil, millele on kirjutatud üks täht, koostatakse sõna “vanker”. Kaardid segatakse ja võetakse siis ükshaaval välja. Kui suur on tõenäosus, et sõna "rakett" moodustatakse tähtede ilmumise järjekorras?

54. Tellija on unustanud telefoninumbri viimase numbri ja seetõttu valib selle juhuslikult. Määrake tõenäosus, et ta peab helistama mitte rohkem kui kolmele kohale.

55. Iga neljast kokkusobimatust sündmusest võib toimuda vastavalt tõenäosusega 0,012; 0,010; 0,006 ja 0,002. Määrake tõenäosus, et vähemalt üks neist sündmustest leiab aset katse tulemusena.

56. Kui suur on tõenäosus tõmmata 52 kaardist koosnevast pakist suvalise masti kujund või labidakaart (figuuri nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks)?

57. Karbis on 10 20-kopikat münti, 5 15-kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Juhuslikult võetakse 6 münti. Kui suur on tõenäosus, et kogusumma ei ületa ühte rubla?

58. Pallid on kahes urnis: esimeses on 5 valget, 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

59. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on 0,4. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma tulemust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

9. valik

1. Igale kuuele identsele kaardile on trükitud üks järgmistest tähtedest: o, g, o, r, o, d. Kaardid on põhjalikult segatud. Leidke tõenäosus, et neid ritta paigutades on võimalik lugeda sõna “juurviljaaed”.

2. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust 1 katsega, on 0,6. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma tulemust võistlusel, kui tal on lubatud teha 2 katset.

3. Esimene kast sisaldab 20 osa, millest 15 on standardsed; teises - 30 osa, millest 24 on standardsed; kolmandas on 10 osa, millest 6 on standardsed. Leidke tõenäosus, et juhuslikult võetud kastist juhuslikult võetud osa on standardne.

4. Lahenda ülesanded Bernoulli valemi ja Moivre-Laplace'i teoreemi abil: a) teate edastamisel on 1 märgi moonutamise tõenäosus 0,24. Määrake tõenäosus, et 10-märgiline teade ei sisalda rohkem kui 3 moonutust;

b) istutati 400 puud. Tõenäosus, et üksik puu juurdub, on 0,8. Leia tõenäosus, et ellujäävate puude arv: 1) on 300; 2) rohkem kui 310, kuid alla 330.

5. Arvutage tabeliandmete abil juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve ning määrake ka tõenäosus, et juhuslik suurus võtab oodatust suurema väärtuse.

6. Pideva juhusliku suuruse X määrab jaotusfunktsioon

Leia: a) parameeter k; b) matemaatiline ootus; c) dispersioon.

7. Sotsioloogiline organisatsioon viib läbi ettevõtte töötajate küsitluse, et selgitada välja nende suhtumine ettevõtte juhtkonna poolt läbiviidavatesse struktuurilistesse ümberkorraldustesse. Eeldades, et struktuursete teisendustega rahulolevate inimeste osakaalu kirjeldab normaaljaotuse seadus parameetritega a = 53,1% ja σ = 3,9%, leidke tõenäosus, et teisendustega rahulolevate inimeste osakaal jääb alla 50%.

8. Üldkogumist eraldati valim, mis esitatakse intervalli variatsioonireana (vt tabel): a) eeldades, et üldkogumil on normaaljaotus, koostage usaldusvahemik matemaatilise ootuse jaoks. tõenäosus γ = 0,95; b) arvutab lihtsustatud meetodil kaldsuse ja kurtoosi koefitsiendid ning teeb vastavad eeldused üldkogumi jaotusfunktsiooni vormi kohta; c) Pearsoni kriteeriumi abil testida hüpoteesi populatsiooni jaotuse normaalsuse kohta olulisuse tasemel α = 0,05.

9. Antud väärtuste X ja Y korrelatsioonitabel: a) arvutada korrelatsioonikordaja r xy , teha järeldused X ja Y vahelise seose kohta; b) leida X lineaarse regressiooni võrrandid Y-l ja Y-l X ning koostada ka nende graafikud.