Pravděpodobnost zlepšení předchozího výsledku. Problémy řešit samostatně

, Trestní řád Ruské federace z 18.1.rtf, Základy právních předpisů Ruské federace o zdravotní péči, ECHR. Právní mechanismus pro podání individuální stížnosti a právní .

Lekce 4. Věta o sčítání pravděpodobností.

14.1. Stručná teoretická část

P( A+V) = P( A)+P( B) - R( AB),

který zobecňuje na součet libovolného počtu událostí

U neslučitelných událostí je pravděpodobnost součtu událostí rovna součtu pravděpodobností těchto událostí, tzn.

24.2. Test

1. 
   V jakém případě se události A a B nazývají neslučitelné nebo neslučitelné?

b) Když se během zkoušky vyskytne alespoň jedna z těchto událostí

c) Když společný výskyt těchto událostí není možný

d) Když během experimentu nastanou obě tyto události

1. 
   Zadejte události, které jsou kompatibilní.

b) Přítomnost stejného studenta ve stejnou dobu na přednášce ve třídě i v kině

c) Nástup jara podle kalendáře a sněžení

d) výskyt tří bodů na shozené straně každé ze dvou kostek a rovnost součtu bodů na shozených stranách obou kostek k lichému číslu

e) Zobrazování fotbalového zápasu na jednom televizním kanálu a vysílání zpráv na jiném

1. 
   Věta pro sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí je formulována takto:

b) Pravděpodobnost výskytu jedné ze dvou neslučitelných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí

c) Pravděpodobnost výskytu jedné ze dvou neslučitelných událostí se rovná rozdílu pravděpodobností výskytu těchto událostí

1. 
   Věta pro sčítání pravděpodobností společných událostí je formulována takto:

b) Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné ze dvou společných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí bez pravděpodobnosti jejich společného výskytu.

c) Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné ze dvou společných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí a pravděpodobnosti jejich společného výskytu.

1. 
   Sčítací teorém pravděpodobností je zobecněn na součet libovolného počtu událostí a pravděpodobnost součtu událostí v obecném tvaru se vypočítá podle vzorce:

1. 
   Pokud jsou události neslučitelné, pak se pravděpodobnost součtu těchto událostí rovná:

b)
PROTI)

34.3. Řešení typických problémů

S, spočívající v tom, že při testování náhodně vybrané poloviny celé šarže bude přijata šarže sto výrobků včetně pěti vadných.

Označme podle A událost spočívající v tom, že při testování nebyl přijat ani jeden vadný výrobek, ale skrz V- událost spočívající v přijetí pouze jednoho vadného výrobku.

Protože C=A+B, pak požadovaná pravděpodobnost P(C) = P( A+B).

Události A A V nekompatibilní. Proto P(C) = P( A)+ P( B).

Ze 100 produktů lze 50 vybrat různými způsoby. Z 95 nezávadných výrobků lze pomocí metod vybrat 50.

Proto P( A)=.

Podobné jako P( B)= .

P(C) = P( A)+ P( B)=+==0,181.
Příklad 4.2. Elektrický obvod mezi body M A N sestaveno podle schématu na obr. 5.

Selhání v průběhu času T různé prvky řetězce - nezávislé události s následujícími pravděpodobnostmi (tabulka 1).

stůl 1

Živel K 1 K 2 L 1 L 2 L 3 Pravděpodobnost0,60,50,40,70,9 Určete pravděpodobnost přerušení obvodu po zadanou dobu.
Řešení.
Dovolte nám představit událost S, spočívající v tom, že ve stanovené době dojde k přerušení obvodu.

Označme podle A j (j= 1.2) událost spočívající v poruše prvku NA j, přes A- porucha alespoň jednoho prvku NA j a prostřednictvím V- selhání všech tří prvků A i (i=1, 2, 3).

Pak požadovaná pravděpodobnost

R( S) = P( A + V) = P( A) + P( V) - R( A)R( B).

R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,

R( V) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,

Že.
Příklad 4.3. Urna obsahuje n bílý, mčerná a lčervené koule, které se losují náhodně jeden po druhém:

a) bez vrácení;

b) s návratem po každé extrakci.

V obou případech určete pravděpodobnost, že bílá koule bude vytažena před černou.
Řešení.

Nechat R 1 je pravděpodobnost, že bílá koule bude vytažena před černou, a R 11 - pravděpodobnost, že černá koule bude vytažena před bílou.

Pravděpodobnost R 1 je součet pravděpodobností vytažení bílé koule ihned, po tažení jedné červené, dvou červených atd. Můžeme tedy psát v případě, že se koule nevrátí,

a když se koule vrátí

Chcete-li získat pravděpodobnosti R 11 v předchozích vzorcích musíte provést náhradu n na m, A m na n. Z toho vyplývá, že v obou případech R 1 :R 11 = n:m. Jelikož navíc R 1 +R 11 = 1, pak se rovná i požadovaná pravděpodobnost při odebírání kuliček bez vracení.
Příklad 4.4. Někdo napsal n dopisy, zalepil je do obálek a na každý z nich pak náhodně napsal různé adresy. Určete pravděpodobnost, že alespoň jedna z obálek má napsanou správnou adresu.
Řešení.

Nechte událost A k je to zapnuté k- obálka obsahuje správnou adresu ( k= l, 2,..., n).

Požadovaná pravděpodobnost.

Události A k kloub; pro jakýkoli jiný k, j, i, ... platí následující rovnosti:

Použití vzorce pro pravděpodobnost součtu n události, dostáváme

Na svobodě n.

44.4. Úkoly pro samostatnou práci

(Odpovědět: p = 0,03)
4.2. Střelec vypálí jednu ránu na terč sestávající ze středového kruhu a dvou soustředných prstenců. Pravděpodobnost zasažení kruhu a prstence je 0,20, 0,15 a 0,10. Určete pravděpodobnost, že cíl minete.

(Odpovědět: p = 0,55)
4.3. Dvě mince stejného poloměru r umístěné uvnitř kruhu o poloměru R, do kterého je náhodně vhozen bod. Určete pravděpodobnost, že tento bod padne na jednu z mincí, pokud se mince nepřekrývají.

(Odpovědět: p =)
4.4. Jaká je pravděpodobnost vytažení figurky libovolné barvy nebo pikové karty (figurce se říká kluk, dáma nebo král) z balíčku 52 karet?

(Odpovědět: p =)
4.5. Schránka obsahuje 10 mincí po 20 kopách, 5 mincí po 15 kopějách. a 2 mince po 10 kopách. Náhodně je vybráno šest mincí. Jaká je pravděpodobnost, že celková částka nebude vyšší než jeden rubl?

(Odpovědět: p =)
4.6. Dvě urny obsahují míčky, které se liší pouze barvou a v první urně je 5 bílých kuliček, 11 černých a 8 červených a ve druhé je 10, 8 a 6, z obou uren se náhodně losuje jedna koule . Jaká je pravděpodobnost, že obě kuličky mají stejnou barvu?

(Odpovědět: p = 0,323)
4.7. Hra mezi A A B se provádí za následujících podmínek: jako výsledek prvního tahu, který vždy provede A, může vyhrát s pravděpodobností 0,3; pokud první tah A nevyhraje, pak udělá tah V a může vyhrát s pravděpodobností 0,5; pokud v důsledku tohoto pohybu V tak nevyhraje A provede druhý tah, který může vést k jeho výhře s pravděpodobností 0,4. Určete pravděpodobnost výhry pro A a pro V.

(Odpovědět: = 0,44, = 0,35)
4.8. Pravděpodobnost, že daný sportovec zlepší svůj předchozí výsledek na jeden pokus, je R. Určete pravděpodobnost, že sportovec zlepší svůj výsledek v soutěži, pokud jsou povoleny dva pokusy.

(Odpovědět: p(A) =)
4.9. Z urny obsahující n koule s čísly od 1 do n, losují se postupně dva míčky, přičemž první míček je vrácen, pokud jeho číslo není jedna. Určete pravděpodobnost, že míč číslo 2 bude tažen podruhé.

(Odpovědět: p =)
4.10. Hráč A střídavě hraje s hráči V A S s pravděpodobností výhry v každé hře 0,25 a zastaví hru po první prohře nebo po dvou hrách odehraných s každým hráčem. Určete pravděpodobnost výhry V A S.

(Odpovědět: )
4.11. Dva lidé se střídají v házení mincí. Vyhrává ten, kdo jako první získá erb. Určete pravděpodobnost výhry pro každého hráče.

(Odpovědět: )
4.12. Pravděpodobnost získání bodu bez ztráty podání při hře dvou stejných volejbalových týmů se rovná polovině. Určete pravděpodobnost získání jednoho bodu pro podávající tým.

(Odpovědět: p =)
4.13. Dva střelci se střídají ve střelbě na cíl, dokud nedojde k prvnímu zásahu. Pravděpodobnost zásahu pro prvního střelce je 0,2 a pro druhého 0,3. Najděte pravděpodobnost, že první střelec vystřelí více ran než druhý.

(Odpovědět: p = 0,455)
4.14. Dva hráči hrají až do vítězství, a proto musí vyhrát první T strany a druhá P strany. Pravděpodobnost, že první hráč vyhraje každou hru, je R a druhý q=1-R. Určete pravděpodobnost, že první hráč vyhraje celou hru.

(Odpovědět: p(A) =)

4.1. Každá ze čtyř nekompatibilních událostí může nastat s pravděpodobnostmi 0,012, 0,010, 0,006 a 0,002. Určete pravděpodobnost, že alespoň jedna z těchto událostí nastane jako výsledek experimentu.

(Odpověď: p = 0,03)

4.2. Střelec vypálí jednu ránu na terč sestávající ze středového kruhu a dvou soustředných prstenců. Pravděpodobnost zasažení kruhu a prstence je 0,20, 0,15 a 0,10. Určete pravděpodobnost, že cíl minete.

(Odpověď: p = 0,55)

4.3. Dvě identické mince o poloměru r jsou umístěny uvnitř kruhu o poloměru R, do kterého je náhodně vržen bod. Určete pravděpodobnost, že tento bod padne na jednu z mincí, pokud se mince nepřekrývají.

(Odpověď: p = )

4.4. Jaká je pravděpodobnost vytažení figurky libovolné barvy nebo pikové karty (figurce se říká kluk, dáma nebo král) z balíčku 52 karet?

(Odpověď: p = )

4.5. Schránka obsahuje 10 mincí po 20 kopách, 5 mincí po 15 kopějách. a 2 mince po 10 kopách. Náhodně je vybráno šest mincí. Jaká je pravděpodobnost, že celková částka nebude vyšší než jeden rubl?

(Odpověď: p = )

4.6. Dvě urny obsahují míčky, které se liší pouze barvou a v první urně je 5 bílých kuliček, 11 černých a 8 červených a ve druhé je 10, 8 a 6, z obou uren se náhodně losuje jedna koule . Jaká je pravděpodobnost, že obě kuličky mají stejnou barvu?

(Odpověď: p = 0,323)

4.7. Hra mezi A a B se hraje za následujících podmínek: v důsledku prvního tahu, který A vždy provede, může vyhrát s pravděpodobností 0,3; pokud A nevyhraje prvním tahem, pak B provede tah a může vyhrát s pravděpodobností 0,5; pokud v důsledku tohoto tahu B nevyhraje, pak A provede druhý tah, který může vést k jeho výhře s pravděpodobností 0,4. Určete pravděpodobnost výhry pro A a B.

(Odpovědět: = 0,44, = 0,35)

4.8. Pravděpodobnost, že daný sportovec zlepší svůj předchozí výsledek v jednom pokusu, se rovná p. Určete pravděpodobnost, že sportovec zlepší svůj výsledek v soutěži, pokud jsou povoleny dva pokusy.

(Odpověď: p(A) = )

4.9. Z urny obsahující n kuliček s čísly od 1 do n se postupně losují dvě koule, přičemž první koule je vrácena, pokud její počet není roven jedné. Určete pravděpodobnost, že míč číslo 2 bude tažen podruhé.

(Odpověď: p = )

4.10. Hráč A hraje střídavě s hráči B a C s pravděpodobností výhry v každé hře 0,25 a přestane hrát po první prohře nebo po dvou hrách odehraných s každým hráčem. Určete pravděpodobnost výhry B a C.

4.11. Dva lidé se střídají v házení mincí. Vyhrává ten, kdo jako první získá erb. Určete pravděpodobnost výhry pro každého hráče.

(Odpovědět: )

4.12. Pravděpodobnost získání bodu bez ztráty podání při hře dvou stejných volejbalových týmů se rovná polovině. Určete pravděpodobnost získání jednoho bodu pro podávající tým.

(Odpověď: p = )

4.13. Dva střelci se střídají ve střelbě na cíl, dokud nedojde k prvnímu zásahu. Pravděpodobnost zásahu pro prvního střelce je 0,2 a pro druhého 0,3. Najděte pravděpodobnost, že první střelec vystřelí více ran než druhý.

(Odpověď: p = 0,455)

4.14. Dva hráči hrají až do vítězství a k tomu potřebuje první vyhrát m her a druhý n her. Pravděpodobnost, že první hráč vyhraje každou hru, je p a druhý q=1-p. Určete pravděpodobnost, že první hráč vyhraje celou hru.

1. První krabice obsahuje 2 bílé a 10 černých kuliček; Druhá krabička obsahuje 8 bílých a 4 černé kuličky. Z každé krabice byl odebrán míč. Jaká je pravděpodobnost, že jsou obě koule bílé?

2. První krabice obsahuje 2 bílé a 10 černých kuliček; Druhá krabička obsahuje 8 bílých a 4 černé kuličky. Z každé krabice byl odebrán míč. Jaká je pravděpodobnost, že jedna kulička je bílá a druhá černá?

3. V krabici je 6 bílých a 8 černých kuliček. Z krabice jsou vyjmuty dvě koule (bez vracení odebrané koule do krabice). Najděte pravděpodobnost, že obě koule jsou bílé.

4. Tři střelci střílí na terč nezávisle na sobě. Pravděpodobnost zasažení cíle pro prvního střelce je 0,75, pro druhého - 0,8, pro třetího - 0,9. Určete pravděpodobnost, že všichni tři střelci zasáhnou cíl současně; alespoň jeden střelec zasáhne cíl.

5. V urně je 9 bílých a 1 černá koule. Byly vyjmuty tři míčky najednou. Jaká je pravděpodobnost, že všechny koule jsou bílé?

6. Vystřelte tři rány na jeden cíl. Pravděpodobnost zásahu každého výstřelu je 0,5. Najděte pravděpodobnost, že tyto výstřely povedou pouze k jednomu zásahu.

7. Dva střelci, u kterých je pravděpodobnost zásahu terče 0,7 a 0,8, vystřelí každý po jedné ráně. Určete pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu cíle.

8. Pravděpodobnost, že díl vyrobený na prvním stroji bude prvotřídní, je 0,7, když je stejný díl vyroben na druhém stroji, je tato pravděpodobnost 0,8. První stroj vyráběl dva díly, druhý tři. Najděte pravděpodobnost, že všechny díly jsou prvotřídní.

9. Provoz zařízení se zastavil kvůli poruše jedné lampy z pěti . Nalezení této lampy se provádí výměnou každé lampy za novou. Určete pravděpodobnost, že budete muset zkontrolovat 2 žárovek, je-li pravděpodobnost poruchy každé žárovky p = 0,2 .

10. Na místě AB Pro motocyklistu-závodníka je 12 překážek, pravděpodobnost zastavení na každé z nich je 0,1. Pravděpodobnost, že z bodu V do konečného cíle S motocyklista pojede bez zastavení, rovná se 0,7. Určete pravděpodobnost, že na webu AC nebude jediná zastávka.

11. Na dráze auta jsou 4 semafory. Pravděpodobnost zastavení u prvních dvou je 0,3 a u dalších dvou 0,4. Jaká je pravděpodobnost, že projedete semaforem bez zastavení?

12. Na dráze auta jsou 3 semafory. Pravděpodobnost zastavení u prvních dvou je 0,4 a u třetího je 0,5. Jaká je pravděpodobnost projetí semaforů s jednou zastávkou?

13. Dva internetové servery jsou denně vystaveny riziku napadení virem s pravděpodobností 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že na ně během 2 dnů nedošlo k jedinému útoku?

14. Pravděpodobnost zasažení terče jednou ranou pro daného střelce je 2/3 Pokud je zaznamenán zásah při prvním výstřelu, pak má střelec nárok na druhý. Pokud se trefí znovu podruhé, střílí potřetí. Jaká je pravděpodobnost zásahu třemi ranami?

15. Hra mezi A A V se provádí za následujících podmínek: jako výsledek prvního tahu, který vždy provede A, může vyhrát s pravděpodobností 0,3; pokud první tah A nevyhraje, pak udělá tah V a může vyhrát s pravděpodobností 0,5; pokud v důsledku tohoto pohybu V tak nevyhraje A provede druhý tah, který může vést k jeho výhře s pravděpodobností 0,4. Určete pravděpodobnost výhry pro A a pro V.

16. Pravděpodobnost, že daný sportovec zlepší svůj předchozí výsledek v jednom pokusu, je 0,2 . Určete pravděpodobnost, že sportovec zlepší svůj výsledek v soutěži, pokud jsou povoleny dva pokusy.

17. Hráč A střídavě hraje s hráči dvě hry V A S. Pravděpodobnost výhry v první hře pro V A S rovno 0,1 a 0,2, v daném pořadí; pravděpodobnost výhry ve druhé hře V se rovná 0,3, pro S rovná 0,4. Určete pravděpodobnost, že: a) B vyhraje první; b) vyhraje jako první S.

18. Z urny obsahující P koule s čísly od 1 do n, jsou postupně taženy dva míčky, přičemž první se vrací, pokud se jeho počet nerovná jedné. Určete pravděpodobnost, že míč číslo 2 bude tažen podruhé.

19. Hráč A střídavě hraje s hráči B a C s pravděpodobností výhry v každé hře 0,25 a hru zastaví po první výhře nebo po dvou prohraných hrách s kterýmkoli hráčem. Určete pravděpodobnost výhry B a C.

20. Dva lidé se střídají v házení mincí. Ten, kdo vyhraje, je ten. které se erb objeví jako první. Určete pravděpodobnost výhry pro každého hráče.

21. Urna obsahuje 8 bílých a 6 černých kuliček. Dva hráči tahají jednu kouli za sebou, přičemž odebranou kouli pokaždé vrátí. Hra pokračuje, dokud jeden z nich nezíská bílou kouli. Určete pravděpodobnost, že hráč zahajující hru jako první vytáhne bílou kouli.

22. Byl vyslán kurýr, aby vyzvedl dokumenty ze 4 archivů. Pravděpodobnost mít potřebné dokumenty v I-tém archivu je 0,9; ve II – 0,95; v III – 0,8; ve IV – 0,6. Najděte pravděpodobnost P absence dokumentu pouze v jednom archivu.

23. Najděte pravděpodobnost, že dva ze tří nezávisle pracujících prvků výpočetního zařízení selžou, pokud pravděpodobnost selhání prvního, druhého a třetího prvku je 0,3, 0,5, 0,4.

24. V kleci je 8 bílých a 4 šedé myši. Tři myši jsou náhodně vybrány pro laboratorní testování a nejsou vráceny. Najděte pravděpodobnost, že všechny tři myši jsou bílé.

25. V kleci je 8 morčat. Tři z nich trpí poruchou metabolismu minerálních solí. Tři zvířata jsou vyjmuta za sebou bez návratu. Jaká je pravděpodobnost, že jsou zdraví?

26. Rybník obsahuje 12 karasů, 18 cejnů a 10 kaprů. Chytily se tři ryby. Najděte pravděpodobnost, že jste chytili postupně dva kapry a karase.

27. Ve stádě je 12 krav, z toho 4 plemena simentál, zbytek jsou plemena galštýnsko-fríská. Pro chovnou práci byla vybrána tři zvířata. Najděte pravděpodobnost, že všechna tři jsou simentálská plemena.

28. Na hipodromu je 10 hnědáků, 3 kropenatý šedý a 7 bílých. Do závodu byli náhodně vybráni 2 koně. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi není bílý kůň?

29. Chovatelská stanice obsahuje 9 psů, z toho 3 kolie, 2 boxeři, zbytek dogy. Náhodně jsou vybráni tři psi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich je boxer?

30. Průměrný počet potomků zvířat je 4. Vzhled samičích a samčích jedinců je stejně pravděpodobný. Najděte pravděpodobnost, že potomek obsahuje dva samce.

31. Sáček obsahuje semena, jejichž klíčivost je 0,85. Pravděpodobnost, že rostlina vykvete, je 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že rostlina vypěstovaná z náhodného semínka vykvete?

32. Sáček obsahuje semena fazolí, jejichž klíčivost je 0,9. Pravděpodobnost, že květy fazolí budou červené, je 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že rostlina z náhodně vybraného semene bude mít červené květy?

33. Pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude hospitalizována během příštího měsíce, je 0,01. Jaká je pravděpodobnost, že ze tří náhodně vybraných lidí na ulici bude během příštího měsíce přijat do nemocnice právě jeden?

34. Dojička obsluhuje 4 krávy. Pravděpodobnost vzniku mastitidy do měsíce u první krávy je 0,1, u druhé 0,2, u třetí 0,2, u čtvrté 0,15. Najděte pravděpodobnost, že alespoň u jedné krávy se do měsíce vyvine mastitida.

35. Čtyři myslivci souhlasili s střídavým odstřelem zvěře. Další lovec vystřelí pouze v případě, že předchozí minul. Pravděpodobnost, že každý lovec zasáhne cíl, je stejná a rovná se 0,8. Najděte pravděpodobnost, že padnou tři výstřely.

36. Student studuje chemii, matematiku a biologii. Odhaduje, že pravděpodobnost získání A v těchto kurzech je 0,5, 0,3 a 0,4. Za předpokladu, že známky v těchto kurzech jsou nezávislé, zjistěte pravděpodobnost, že nezíská ani jednu známku „výborně“.

37. Student zná 20 z 25 otázek v programu. Jaká je pravděpodobnost, že zná všechny tři otázky programu, které mu zkoušející navrhl?

38. Dva lovci střílejí na vlka, každý vystřelí jednu ránu. Pravděpodobnost zasažení cíle prvním a druhým lovcem je 0,7 a 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhnete vlka alespoň jednou ranou?

39. Pravděpodobnost, že některý střelec zasáhne cíl třemi ranami alespoň jednou, je 0,875. Najděte pravděpodobnost zásahu jednou ranou.

40. Ze stáda jsou vybírány vysoce produktivní krávy. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané zvíře bude vysoce produktivní je 0,2. Najděte pravděpodobnost, že ze tří vybraných krav budou pouze dvě vysoce produktivní.

41. V první kleci jsou 3 bílí a 4 šedí králíci, ve druhé kleci je 7 bílých a 5 černých králíků. Z každé klece byl náhodně odebrán jeden králík. Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba králíci bílí?

42. Účinnost dvou vakcín byla studována na skupině zvířat. Obě vakcíny mohou způsobit alergie u zvířat se stejnou pravděpodobností 0,2. Najděte pravděpodobnost, že vakcíny nezpůsobí alergie.

43. V rodině jsou tři děti. Za předpokladu, že události narození chlapce a dívky jsou stejně pravděpodobné, najděte pravděpodobnost, že všechny děti v rodině jsou stejného pohlaví.

44. Pravděpodobnost vzniku stabilní sněhové pokrývky v dané oblasti od října je 0,1. Určete pravděpodobnost, že v příštích třech letech bude v této oblasti alespoň jednou od října ustálená sněhová pokrývka.

45. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je prvotřídní, pokud je známo, že 4 % všech výrobků jsou vadné a 75 % nezávadných výrobků splňuje požadavky první třídy.

46. ​​Dva střelci, u kterých je pravděpodobnost zásahu cíle 0,7 a 0,8, vystřelí každý po jedné ráně. Určete pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu cíle.

47. Pravděpodobnost události vyskytující se v každém experimentu je stejná a rovná se 0,2. Experimenty se provádějí postupně, dokud k události nedojde. Určete pravděpodobnost, že budete muset provést čtvrtý experiment.

48. Pravděpodobnost, že díl vyrobený na prvním stroji bude prvotřídní, je 0,7. Při výrobě stejného dílu na druhém stroji je tato pravděpodobnost 0,8. První stroj vyráběl dva díly, druhý tři. Najděte pravděpodobnost, že všechny díly jsou prvotřídní.

49. Přerušení elektrického obvodu může nastat, když dojde k poruše prvku nebo dvou prvků, které selžou nezávisle na sobě, s pravděpodobnostmi 0,3; 0,2 a 0,2. Určete pravděpodobnost přerušení elektrického obvodu.

50. Provoz zařízení se zastavil kvůli poruše jedné lampy z 10. Nalezení této lampy se provádí výměnou každé lampy za novou. Určete pravděpodobnost, že bude nutné zkontrolovat 7 žárovek, pokud je pravděpodobnost poruchy každé žárovky 0,1.

51. Pravděpodobnost, že napětí v elektrickém obvodu překročí jmenovitou hodnotu, je 0,3. Při zvýšeném napětí je pravděpodobnost havárie v zařízení, které spotřebovává elektrický proud, 0,8. Určete pravděpodobnost poruchy zařízení v důsledku zvýšeného napětí.

52. Pravděpodobnost zásahu prvního terče pro daného střelce je 2/3. Pokud je zásah zaznamenán při prvním výstřelu, pak střelec získává právo střílet na jiný cíl. Pravděpodobnost zasažení obou terčů dvěma ranami je 0,5. Určete pravděpodobnost zásahu druhého cíle.

53. Pomocí šesti karet, na kterých je napsáno jedno písmeno, se skládá slovo „kočár“. Karty se zamíchají a poté jedna po druhé vyjmou. Jaká je pravděpodobnost, že slovo „raketa“ vznikne v pořadí, ve kterém se písmena objevují?

54. Účastník zapomněl poslední číslici telefonního čísla, a proto jej vytáčí náhodně. Určete pravděpodobnost, že nebude muset volat na více než tři místa.

55. Každá ze čtyř neslučitelných událostí může nastat s pravděpodobnostmi 0,012; 0,010; 0,006 a 0,002. Určete pravděpodobnost, že alespoň jedna z těchto událostí nastane jako výsledek experimentu.

56. Jaká je pravděpodobnost vytažení figurky libovolné barvy nebo pikové karty z balíčku 52 karet (figurka se nazývá kluk, dáma nebo král)?

57. Schránka obsahuje 10 mincí po 20 kopách, 5 mincí po 15 kopách. a 2 mince po 10 kopách. Náhodně je vybráno 6 mincí. Jaká je pravděpodobnost, že celková částka nebude vyšší než jeden rubl?

58. Ve dvou urnách jsou koule: v první je 5 bílých, 11 černých a 8 červených a ve druhé je 10, 8 a 6, z obou uren se náhodně losuje jedna koule. Jaká je pravděpodobnost, že obě kuličky mají stejnou barvu?

59. Pravděpodobnost, že daný sportovec zlepší svůj předchozí výsledek v jednom pokusu, je 0,4. Určete pravděpodobnost, že sportovec zlepší svůj výsledek v soutěži, pokud jsou povoleny dva pokusy.

Možnost 9

1. Každá ze 6 stejných karet má natištěno jedno z následujících písmen: o, g, o, r, o, d Karty jsou důkladně promíchány. Najděte pravděpodobnost, že jejich umístěním do řady bude možné přečíst slovo „zeleninová zahrada“.

2. Pravděpodobnost, že daný sportovec zlepší svůj předchozí výsledek v 1 pokusu, je 0,6. Určete pravděpodobnost, že sportovec zlepší svůj výsledek na soutěži, pokud má povoleno provést 2 pokusy.

3. První krabice obsahuje 20 dílů, z nichž je 15 standardních; ve druhém - 30 dílů, z nichž 24 je standardních; ve třetí je 10 dílů, z toho 6 standardních. Najděte pravděpodobnost, že náhodně vybraná část z náhodně vybrané krabice je standardní.

4. Řešte úlohy pomocí Bernoulliho vzorce a Moivre-Laplaceovy věty: a) při přenosu zprávy je pravděpodobnost zkreslení 1 znaku 0,24. Určete pravděpodobnost, že zpráva o 10 znacích neobsahuje více než 3 zkreslení;

b) Bylo vysazeno 400 stromů. Pravděpodobnost, že se jednotlivý strom zakoření, je 0,8. Najděte pravděpodobnost, že počet přeživších stromů: 1) je 300; 2) více než 310, ale méně než 330.

5. Pomocí tabulkových dat vypočítejte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X a také určete pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty větší, než se očekávalo.

6. Spojitá náhodná veličina X je určena distribuční funkcí

Najděte: a) parametr k; b) matematické očekávání; c) disperze.

7. Sociologická organizace provádí průzkum zaměstnanců podniku za účelem zjištění jejich postoje ke strukturální reorganizaci prováděné vedením podniku. Za předpokladu, že podíl lidí spokojených se strukturálními transformacemi je popsán zákonem normálního rozdělení s parametry a = 53,1 % a σ = 3,9 %, zjistěte pravděpodobnost, že podíl lidí spokojených s transformacemi bude pod 50 %.

8. Z obecné populace byl extrahován vzorek, který je prezentován ve formě intervalové variační řady (viz tabulka): a) za předpokladu, že obecná populace má normální rozdělení, sestrojte interval spolehlivosti pro matematické očekávání se spolehlivostí. pravděpodobnost γ = 0,95; b) vypočítat koeficienty šikmosti a špičatosti pomocí zjednodušené metody a učinit vhodné předpoklady o formě distribuční funkce populace; c) pomocí Pearsonova kritéria otestujte hypotézu o normalitě rozložení populace na hladině významnosti α = 0,05.

9. Daná korelační tabulka hodnot X a Y: a) vypočítejte korelační koeficient r xy, vyvodte závěry o vztahu mezi X a Y; b) najděte lineární regresní rovnice X na Y a Y na X a také sestrojte jejich grafy.