احتمالية تحسين نتيجتك السابقة. مشاكل لحلها بشكل مستقل

، قانون الإجراءات الجنائية للاتحاد الروسي من 18.1.rtf، أساسيات تشريعات الاتحاد الروسي بشأن الرعاية الصحية، المحكمة الأوروبية لحقوق الإنسان. الآلية القانونية لتقديم الشكوى الفردية والقانونية .

الدرس 4. نظرية جمع الاحتمالات.

14.1. الجزء النظري المختصر

ف( أ+في) = ف( أ)+ف( ب) - ص( أ.ب),

الذي يعمم على مجموع أي عدد من الأحداث

بالنسبة للأحداث غير المتوافقة، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث، أي.

24.2. امتحان

1. 
   في أي حالة يُطلق على الحدثين A وB غير متوافقين أو غير متوافقين؟

ب) عند وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث أثناء الاختبار

ج) عندما يكون وقوع هذه الأحداث المشتركة مستحيلاً

د) عندما يقع كلا هذين الحدثين أثناء التجربة

1. 
   تحديد الأحداث المتوافقة.

ب) حضور نفس الطالب في نفس الوقت محاضرة في الفصل وفي السينما

ج) بداية فصل الربيع حسب التقويم وتساقط الثلوج

د) ظهور ثلاث نقاط على الجانب المسقط من كل من حجري النرد وتساوي مجموع النقاط على الجانب المسقط من كلا النردين بعدد فردي

هـ) عرض مباراة كرة قدم على إحدى القنوات التلفزيونية وبث الأخبار على قناة أخرى

1. 
   تمت صياغة نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة على النحو التالي:

ب) احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين

ج) احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين يساوي الفرق في احتمالات وقوع هذين الحدثين

1. 
   تمت صياغة نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة على النحو التالي:

ب) احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون احتمال وقوعهما معًا

ج) احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين واحتمال وقوعهما معًا

1. 
   يتم تعميم نظرية جمع الاحتمالات على مجموع أي عدد من الأحداث ويتم حساب احتمال مجموع الأحداث بشكل عام بواسطة الصيغة:

1. 
   إذا كانت الأحداث غير متوافقة، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي:

ب)
الخامس)

34.3. حل المشاكل النموذجية

مع، وهو أنه سيتم قبول مجموعة مكونة من مائة منتج، بما في ذلك خمسة منتجات معيبة، عند اختبار نصف المجموعة بأكملها بشكل عشوائي.

دعونا نشير بواسطة أحدث يتكون من حقيقة أنه أثناء الاختبار لم يتم استلام أي منتج معيب، ومن خلال في- حالة استلام منتج واحد معيب فقط.

بما أن C=A+B، فإن الاحتمال المطلوب P(C) = P( أ+ب).

الأحداث أو فيغير متوافق. وبالتالي P(C) = P( أ)+ف( ب).

من بين 100 منتج، يمكن اختيار 50 منتجًا بطرق مختلفة. من بين 95 منتجًا غير معيب، يمكن اختيار 50 منتجًا باستخدام الطرق.

لذلك ف( أ)=.

مشابهة لـ P( ب)= .

ف(ج) = ف( أ)+ف( ب)=+==0,181.
مثال 4.2. الدائرة الكهربائية بين النقاط مو نتم تجميعها وفقًا للمخطط الموضح في الشكل. 5.

الفشل مع مرور الوقت تعناصر مختلفة من السلسلة - أحداث مستقلة مع الاحتمالات التالية (الجدول 1).

الجدول 1

عنصر ك 1 ك 2 ل 1 ل 2 ل 3 الاحتمال0,60,50,40,70,9 تحديد احتمالية انقطاع الدائرة الكهربائية لفترة زمنية محددة.
حل.
دعونا نقدم الحدث مع، والتي تتكون من حقيقة أنه خلال فترة زمنية محددة سيكون هناك انقطاع في الدائرة.

دعونا نشير بواسطة أ ي (ي= 1.2) حدث يتكون من فشل أحد العناصر ل ي، خلال أ- فشل عنصر واحد على الأقل ل ي، ومن خلال في- فشل العناصر الثلاثة أ أنا (أنا=1, 2, 3).

ثم الاحتمال المطلوب

ص( مع) = ف( أ + في) = ف( أ) + ف( في) - ص( أ)ص( ب).

ص( أ) = ف( أ 1 ) + ف( أ 2 ) - ص( أ 1 )ص( أ 2 ) = 0,8,

ص( في) = ف( ل 1 )ص( ل 2 ) ص( ل 3 ) = 0,252,

الذي - التي.
مثال 4.3. الجرة تحتوي على نأبيض، مأسود و لالكرات الحمراء التي يتم سحبها بشكل عشوائي واحدة تلو الأخرى:

أ) بدون عودة؛

ب) مع العودة بعد كل استخراج.

في كلتا الحالتين، أوجد احتمال سحب الكرة البيضاء قبل الكرة السوداء.
حل.

يترك ر 1 هو احتمال أن يتم سحب الكرة البيضاء قبل الكرة السوداء، و ر 11 - احتمال سحب الكرة السوداء قبل الكرة البيضاء.

احتمالا ر 1 هو مجموع احتمالات سحب كرة بيضاء على الفور، بعد سحب كرة حمراء، واثنتان باللون الأحمر، وما إلى ذلك. وهكذا يمكننا أن نكتب في الحالة التي لم يتم فيها إرجاع الكرات،

وعندما تعود الكرات

للحصول على الاحتمالات ر 11 في الصيغ السابقة تحتاج إلى إجراء بديل نعلى م، أ معلى ن. ويترتب على ذلك في كلتا الحالتين ر 1 :ر 11 = ن:م. منذ، بالإضافة إلى ذلك، ر 1 +ر 11 = 1، فإن الاحتمال المطلوب عند إزالة الكرات دون إرجاعها متساوي أيضًا.
مثال 4.4. كتب شخص ما نالرسائل، وختمها في مظاريف، ثم كتب بشكل عشوائي عناوين مختلفة على كل منها. حدد احتمال أن يكون أحد المغلفات على الأقل يحتوي على العنوان الصحيح مكتوبًا عليه.
حل.

دع الحدث أ كهل هذا قيد التشغيل ك- يحتوي الظرف على العنوان الصحيح ( ك= ل، 2،...، ن).

الاحتمال المطلوب.

الأحداث أ كمشترك؛ لأي مختلفة ك, ي, أنا, ... المساواة التالية تحمل:

باستخدام صيغة احتمال المبلغ نالأحداث، نحصل عليها

ككل ن.

44.4. مهام العمل المستقل

(إجابة: ع = 0.03)
4.2. يطلق مطلق النار رصاصة واحدة على هدف يتكون من دائرة مركزية وحلقتين متحدتين المركز. احتمالات ضرب الدائرة والحلقة هي 0.20، 0.15 و 0.10، على التوالي. تحديد احتمال فقدان الهدف.

(إجابة: ع = 0.55)
4.3. عملتان نصف قطرهما متماثلتان صتقع داخل دائرة نصف قطرها ر، حيث يتم طرح نقطة بشكل عشوائي. حدد احتمالية سقوط هذه النقطة على إحدى العملات المعدنية إذا لم تتداخل العملات المعدنية.

(إجابة: ع =)
4.4. ما هو احتمال رسم شخصية من أي بدلة أو بطاقة البستوني (يُسمى الشكل جاك أو ملكة أو ملك) من مجموعة مكونة من 52 بطاقة؟

(إجابة: ع =)
4.5. يحتوي الصندوق على 10 عملات معدنية من فئة 20 كوبيل، و5 عملات معدنية من فئة 15 كوبيل. وعملتين من فئة 10 كوبيل. يتم أخذ ست عملات معدنية بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يزيد المجموع عن روبل واحد؟

(إجابة: ع =)
4.6. تحتوي الجرة على كرات تختلف في اللون فقط، وفي الجرة الأولى يوجد 5 كرات بيضاء و11 سوداء و8 حمراء، وفي الثانية يوجد 10 و8 و6 على التوالي، ويتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي من كلا الجرتين . ما هو احتمال أن تكون الكرتان بنفس اللون؟

(إجابة: ع = 0.323)
4.7. لعبة بين أو بيتم تنفيذه بالشروط التالية: نتيجة للحركة الأولى، التي تتم دائمًا أيمكنه الفوز باحتمال 0.3؛ إذا كانت الخطوة الأولى ألا يفوز، ثم يقوم بهذه الخطوة فيويمكن أن يفوز باحتمال 0.5؛ إذا كان نتيجة لهذه الخطوة فيلا يفوز إذن أيقوم بخطوة ثانية، مما قد يؤدي إلى فوزه باحتمال 0.4. تحديد احتمالات الفوز ل أولل في.

(إجابة: = 0,44, = 0,35)
4.8. احتمال قيام رياضي معين بتحسين نتيجته السابقة في محاولة واحدة هو ر. حدد احتمال أن يقوم الرياضي بتحسين نتيجته في المنافسة إذا سمح له بمحاولتين.

(إجابة: ع (أ) =)
4.9. من جرة تحتوي على نالكرات ذات الأرقام من 1 إلى ن، يتم سحب كرتين بالتتابع، مع إعادة الكرة الأولى إذا لم يكن رقمها واحدًا. أوجد احتمال سحب الكرة رقم ٢ في المرة الثانية.

(إجابة: ع =)
4.10. لاعب أيتناوبون في اللعب مع اللاعبين فيو معيبلغ احتمال الفوز في كل مباراة 0.25، ويتوقف اللعب بعد الخسارة الأولى أو بعد لعب مباراتين مع كل لاعب. تحديد احتمالات الفوز فيو مع.

(إجابة: )
4.11. يتناوب شخصان في رمي العملة المعدنية. الشخص الذي يحصل على شعار النبالة يفوز أولاً. تحديد احتمالات الفوز لكل لاعب.

(إجابة: )
4.12. احتمال الحصول على نقطة دون خسارة الإرسال عندما يلعب فريقان متساويان للكرة الطائرة يساوي النصف. حدد احتمالية الحصول على نقطة واحدة للفريق المرسل.

(إجابة: ع =)
4.13. يتناوب اثنان من الرماة في إطلاق النار على الهدف حتى يتم تنفيذ الضربة الأولى. احتمال إصابة مطلق النار الأول هو 0.2 وللثانية 0.3. أوجد احتمال أن يطلق مطلق النار الأول عددًا أكبر من الطلقات من الثاني.

(إجابة: ع = 0.455)
4.14. يلعب لاعبان حتى النصر، ولهذا يجب أن يفوز الأول تالأطراف، والثانية صحفلات. احتمال فوز اللاعب الأول في كل مباراة هو ر، والثانية س=1-ر. حدد احتمالية فوز اللاعب الأول باللعبة بأكملها.

(إجابة: ع (أ) =)

4.1. يمكن أن يحدث كل من الأحداث الأربعة غير المتوافقة باحتمالات 0.012 و0.010 و0.006 و0.002 على التوالي. حدد احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث نتيجة للتجربة.

(الجواب: ع = 0.03)

4.2. يطلق مطلق النار رصاصة واحدة على هدف يتكون من دائرة مركزية وحلقتين متحدتين المركز. احتمالات ضرب الدائرة والحلقة هي 0.20، 0.15 و 0.10، على التوالي. تحديد احتمال فقدان الهدف.

(الجواب: ع = 0.55)

4.3. توجد عملتان متماثلتان نصف قطرهما r داخل دائرة نصف قطرها R حيث يتم رمي نقطة بشكل عشوائي. حدد احتمالية سقوط هذه النقطة على إحدى العملات المعدنية إذا لم تتداخل العملات المعدنية.

(الجواب: ع = )

4.4. ما هو احتمال رسم شخصية من أي بدلة أو بطاقة البستوني (يُسمى الشكل جاك أو ملكة أو ملك) من مجموعة مكونة من 52 بطاقة؟

(الجواب: ع = )

4.5. يحتوي الصندوق على 10 عملات معدنية من فئة 20 كوبيل، و5 عملات معدنية من فئة 15 كوبيل. وعملتين من فئة 10 كوبيل. يتم أخذ ست عملات معدنية بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يزيد المجموع عن روبل واحد؟

(الجواب: ع = )

4.6. تحتوي الجرة على كرات تختلف في اللون فقط، وفي الجرة الأولى يوجد 5 كرات بيضاء و11 سوداء و8 حمراء، وفي الثانية يوجد 10 و8 و6 على التوالي، ويتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي من كلا الجرتين . ما هو احتمال أن تكون الكرتان بنفس اللون؟

(الجواب: ع = 0.323)

4.7. يتم لعب المباراة بين A وB في ظل الظروف التالية: نتيجة للحركة الأولى، التي يقوم بها A دائمًا، يمكنه الفوز باحتمال 0.3؛ إذا لم يفز A بالحركة الأولى، فسيقوم B بالحركة ويمكنه الفوز باحتمال 0.5؛ إذا لم يفز B نتيجة لهذه الحركة، فإن A يقوم بخطوة ثانية، مما قد يؤدي إلى فوزه باحتمال 0.4. حدد احتمالات الفوز لكل من A وB.

(إجابة: = 0,44, = 0,35)

4.8. احتمال قيام رياضي معين بتحسين نتيجته السابقة في محاولة واحدة يساوي p. حدد احتمال أن يقوم الرياضي بتحسين نتيجته في المنافسة إذا سمح له بمحاولتين.

(الجواب: ع(أ) = )

4.9. من جرة تحتوي على عدد n من الكرات ذات الأرقام من 1 إلى n، يتم سحب كرتين بالتتابع، مع إعادة الكرة الأولى إذا كان رقمها لا يساوي واحدًا. أوجد احتمال سحب الكرة رقم ٢ في المرة الثانية.

(الجواب: ع = )

4.10. يلعب اللاعب "أ" بالتناوب مع اللاعبين "ب" و"ج"، مع احتمالية الفوز في كل مباراة تبلغ 0.25، ويتوقف عن اللعب بعد الخسارة الأولى أو بعد لعب مباراتين مع كل لاعب. حدد احتمالات الفوز بـ B وC.

4.11. يتناوب شخصان في رمي العملة المعدنية. الشخص الذي يحصل على شعار النبالة يفوز أولاً. تحديد احتمالات الفوز لكل لاعب.

(إجابة: )

4.12. احتمال الحصول على نقطة دون خسارة الإرسال عندما يلعب فريقان متساويان للكرة الطائرة يساوي النصف. حدد احتمالية الحصول على نقطة واحدة للفريق المرسل.

(الجواب: ع = )

4.13. يتناوب اثنان من الرماة في إطلاق النار على الهدف حتى يتم تنفيذ الضربة الأولى. احتمال إصابة مطلق النار الأول هو 0.2 وللثانية 0.3. أوجد احتمال أن يطلق مطلق النار الأول عددًا أكبر من الطلقات من الثاني.

(الجواب: ع = 0.455)

4.14. يلعب لاعبان حتى النصر، ولهذا يحتاج الأول إلى الفوز بمباريات، والثاني بمباريات ن. احتمال فوز اللاعب الأول في كل مباراة هو p، والثاني q=1-p. حدد احتمالية فوز اللاعب الأول باللعبة بأكملها.

1. الصندوق الأول يحتوي على 2 كرات بيضاء و10 كرات سوداء؛ الصندوق الثاني يحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. تم أخذ كرة من كل صندوق. ما هو احتمال أن تكون الكرتان بيضاء اللون؟

2. الصندوق الأول يحتوي على 2 كرات بيضاء و10 كرات سوداء؛ الصندوق الثاني يحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. تم أخذ كرة من كل صندوق. ما احتمال أن تكون إحدى الكرتين بيضاء والأخرى سوداء؟

3. يوجد 6 كرات بيضاء و8 كرات سوداء في الصندوق. يتم إخراج كرتين من الصندوق (دون إعادة الكرة التي تم إزالتها إلى الصندوق). أوجد احتمال أن تكون الكرتان بيضاء اللون.

4. يقوم ثلاثة رماة بإطلاق النار على الهدف بشكل مستقل عن بعضهم البعض. احتمال إصابة الهدف للمطلق الأول هو 0.75، وللثاني 0.8، وللثالث 0.9. حدد احتمال إصابة الرماة الثلاثة بالهدف في نفس الوقت؛ سوف يصل مطلق النار واحد على الأقل إلى الهدف.

5. هناك 9 كرات بيضاء و1 كرات سوداء في الجرة. تم إخراج ثلاث كرات مرة واحدة. ما هو احتمال أن تكون جميع الكرات بيضاء؟

6. أطلق ثلاث طلقات على هدف واحد. احتمال ضرب كل طلقة هو 0.5. أوجد احتمال أن تؤدي هذه الطلقات إلى إصابة واحدة فقط.

7. يطلق اثنان من الرماة، الذين تبلغ احتمالات إصابة الهدف بالنسبة لهم 0.7 و0.8 على التوالي، طلقة واحدة لكل منهما. تحديد احتمال إصابة واحدة على الأقل بالهدف.

8. احتمال أن يكون الجزء المنتج على الجهاز الأول من الدرجة الأولى هو 0.7 وعندما يتم تصنيع نفس الجزء على الجهاز الثاني فإن هذا الاحتمال هو 0.8. أنتجت الآلة الأولى جزأين، والثانية ثلاثة. أوجد احتمال أن تكون جميع الأجزاء من الدرجة الأولى.

9. توقف تشغيل الجهاز بسبب عطل مصباح واحد من أصل خمسة . يتم العثور على هذا المصباح عن طريق استبدال كل مصباح بآخر جديد واحدًا تلو الآخر. حدد الاحتمالية التي سيتعين عليك التحقق منها 2 المصابيح، إذا كان احتمال فشل كل مصباح هو ع = 0.2 .

10. على الموقع أ.ببالنسبة لمتسابق الدراجات النارية، هناك 12 عائقًا، واحتمال التوقف عند كل منها هو 0.1. احتمال أن من النقطة فيإلى الوجهة النهائية معسوف يسافر سائق الدراجة النارية دون توقف، أي ما يعادل 0.7. تحديد احتمال أن على الموقع تكييفلن يكون هناك توقف واحد.

11. يوجد 4 إشارات مرورية على مسار السيارة. احتمال التوقف عند الأولين هو 0.3، وعند التاليين هو 0.4. ما هو احتمال القيادة عبر إشارات المرور دون توقف؟

12. يوجد 3 إشارات مرورية على مسار السيارة. احتمال التوقف عند الأولين هو 0.4، وعند الثالث هو 0.5. ما هو احتمال تجاوز إشارات المرور بمحطة واحدة؟

13. يتعرض اثنان من خوادم الإنترنت لخطر الهجوم الفيروسي يوميًا باحتمال 0.3. ما هو احتمال عدم وقوع هجوم واحد عليهم خلال يومين؟

14. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة للرامي المعين هو 2/3 إذا تم تسجيل الإصابة في الطلقة الأولى فإن الرامي يستحق الثانية. وإذا ضرب مرة أخرى في المرة الثانية، فإنه يطلق النار مرة ثالثة. ما هو احتمال الضرب بثلاث طلقات؟

15. لعبة بين أو فييتم تنفيذه بالشروط التالية: نتيجة للحركة الأولى، التي تتم دائمًا أ،يمكنه الفوز باحتمال 0.3؛ إذا كانت الخطوة الأولى ألا يفوز، ثم يقوم بهذه الخطوة فيويمكن أن يفوز باحتمال 0.5؛ إذا كان نتيجة لهذه الخطوة فيلا يفوز إذن أيقوم بخطوة ثانية، مما قد يؤدي إلى فوزه باحتمال 0.4. تحديد احتمالات الفوز ل أولل في.

16. احتمال أن يقوم لاعب ما بتحسين نتيجته السابقة في محاولة واحدة هو 0.2 . حدد احتمال أن يقوم الرياضي بتحسين نتيجته في المنافسة إذا سمح له بمحاولتين.

17. لاعب أيلعب مباراتين بالتناوب مع اللاعبين فيو مع.احتمالات الفوز بالمباراة الأولى فيو معيساوي 0.1 و 0.2 على التوالي؛ احتمال الفوز في المباراة الثانية ل فييساوي 0.3، ل معيساوي 0.4. حدد احتمالية أن: أ) سيفوز B أولاً؛ ب) سيكون أول من يفوز مع.

18. من جرة تحتوي صالكرات ذات الأرقام من 1 إلى ن، يتم سحب كرتين بالتتابع، مع إرجاع الأولى إذا كان عددها لا يساوي واحدًا. أوجد احتمال سحب الكرة رقم ٢ في المرة الثانية.

19. لاعب أيلعب بالتناوب مع اللاعبين B وC، مع احتمالية الفوز في كل مباراة تبلغ 0.25، ويوقف اللعبة بعد الفوز الأول أو بعد خسارة مباراتين مع أي من اللاعبين. حدد احتمالات الفوز بـ B وC.

20. يتناوب شخصان في رمي العملة المعدنية. الشخص الذي يفوز هو واحد. الذي سيظهر شعار النبالة أولاً. تحديد احتمالات الفوز لكل لاعب.

21. تحتوي الجرة على 8 كرات بيضاء و6 كرات سوداء. يسحب لاعبان كرة واحدة على التوالي، ويعيدان الكرة التي تم إزالتها في كل مرة. تستمر اللعبة حتى يحصل أحدهم على الكرة البيضاء. حدد احتمال أن يكون اللاعب الذي يبدأ اللعبة هو أول من يسحب الكرة البيضاء.

22. تم إرسال ساعي لجمع المستندات من 4 أرشيفات. احتمال وجود المستندات اللازمة في الأرشيف الأول هو 0.9؛ في الثاني – 0.95؛ في الثالث - 0.8؛ في الرابع – 0.6. أوجد الاحتمال P لعدم وجود مستند في أرشيف واحد فقط.

23. أوجد احتمال فشل عنصرين من العناصر الثلاثة التي تعمل بشكل مستقل لجهاز الحوسبة إذا كان احتمال فشل العناصر الأول والثاني والثالث على التوالي هو 0.3، 0.5، 0.4.

24. يوجد 8 فئران بيضاء و4 فئران رمادية في القفص. تم اختيار ثلاثة فئران بشكل عشوائي لإجراء الاختبارات المعملية ولم يتم إعادتها. أوجد احتمال أن تكون الفئران الثلاثة بيضاء اللون.

25. يوجد 8 خنازير غينيا في القفص. ثلاثة منهم يعانون من انتهاك لعملية التمثيل الغذائي للأملاح المعدنية. يتم إخراج ثلاثة حيوانات على التوالي دون العودة. ما هو احتمال أنهم بصحة جيدة؟

26. تحتوي البركة على 12 سمكة مبروك و18 سمكة سمك و10 سمكة كارب. تم صيد ثلاث أسماك. أوجد احتمال اصطياد سمكتي شبوط وسمكة مبروك الدوع على التوالي.

27. يوجد في القطيع 12 بقرة، 4 منها من سلالات سيمنتال، والباقي من سلالات جالستين-فريزيان. تم اختيار ثلاثة حيوانات لأعمال التربية. أوجد احتمال أن تكون السلالات الثلاثة من عائلة Simmental.

28. يوجد في ميدان سباق الخيل 10 خيول كبيرة، 3 خيول رمادية مرقطة و7 خيول بيضاء. تم اختيار حصانين بشكل عشوائي للسباق. ما هو احتمال عدم وجود حصان أبيض بينهم؟

29. يحتوي بيت الكلب على 9 كلاب، 3 منها كولي، و2 ملاكمين، والباقي من الدانماركيين الكبار. يتم اختيار ثلاثة كلاب بشكل عشوائي. ما احتمال أن يكون أحدهم على الأقل ملاكمًا؟

30. متوسط ​​نسل الحيوانات هو 4. ظهور الأفراد من الإناث والذكور محتمل بنفس القدر. أوجد احتمال أن يحتوي النسل على ذكرين.

31. يحتوي الكيس على بذور معدل إنباتها 0.85. احتمال أن يزدهر النبات هو 0.9. ما هو احتمال أن يزهر النبات المزروع من بذرة عشوائية؟

32. يحتوي الكيس على بذور فول نسبة إنباتها 0.9. احتمال أن تكون أزهار الفاصوليا حمراء هو 0.3. ما احتمال أن يكون لنبات من بذرة مختارة عشوائيًا زهور حمراء؟

33. احتمال دخول شخص تم اختياره عشوائيًا إلى المستشفى خلال الشهر التالي هو 0.01. ما هو احتمال أن يتم إدخال شخص واحد بالضبط من بين ثلاثة أشخاص تم اختيارهم عشوائيًا في الشارع إلى المستشفى خلال الشهر التالي؟

34. خادمة الحليب تخدم 4 بقرات. احتمال الإصابة بالتهاب الضرع خلال شهر بالنسبة للبقرة الأولى هو 0.1، والثانية – 0.2، والثالثة – 0.2، والرابع – 0.15. أوجد احتمال إصابة بقرة واحدة على الأقل بالتهاب الضرع خلال شهر.

35. اتفق أربعة صيادين على التناوب في إطلاق النار على الطرائد. يطلق الصياد التالي رصاصة فقط إذا أخطأ الصياد السابق. احتمالات إصابة كل صياد بالهدف هي نفسها وتساوي 0.8. أوجد احتمال إطلاق ثلاث طلقات.

36. يدرس الطالب الكيمياء والرياضيات والأحياء. ويقدر أن احتمالات الحصول على تقدير A في هذه المقررات هي 0.5، 0.3، و0.4 على التوالي. على افتراض أن العلامات في هذه المقررات مستقلة، أوجد احتمال ألا يحصل على درجة "ممتاز" واحدة.

37. يعرف الطالب 20 سؤالاً من أصل 25 سؤالاً في البرنامج. ما احتمال أن يعرف الأسئلة الثلاثة للبرنامج الذي اقترحه عليه الممتحن؟

38. صيادان يطلقان النار على ذئب، كل منهما يطلق رصاصة واحدة. احتمالات إصابة الهدف من قبل الصياد الأول والثاني هي 0.7 و 0.8 على التوالي. ما هو احتمال إصابة الذئب بطلقة واحدة على الأقل؟

39. احتمال إصابة الهدف بثلاث طلقات مرة واحدة على الأقل لبعض الرماة هو 0.875. أوجد احتمال الإصابة بطلقة واحدة.

40. يتم اختيار الأبقار عالية الإنتاجية من القطيع. احتمال أن يكون الحيوان الذي تم اختياره عشوائيًا عالي الإنتاجية هو 0.2. أوجد احتمال أن تكون اثنتين فقط من الأبقار الثلاث المختارة عالية الإنتاجية.

41. يوجد في القفص الأول 3 أرانب بيضاء و 4 أرانب رمادية، وفي القفص الثاني 7 أرانب بيضاء و 5 أرانب سوداء. تم أخذ أرنب واحد بشكل عشوائي من كل قفص. ما هو احتمال أن يكون كلا الأرنبين أبيض اللون؟

42. تمت دراسة فعالية لقاحين على مجموعة من الحيوانات. يمكن أن يسبب كلا اللقاحين حساسية لدى الحيوانات باحتمال متساوٍ قدره 0.2. أوجد احتمال أن اللقاحات لن تسبب الحساسية.

43. هناك ثلاثة أطفال في الأسرة. بافتراض أن حدثي ولادة ولد وفتاة متساويان في الاحتمال، أوجد احتمال أن يكون جميع الأطفال في الأسرة من نفس الجنس.

44. احتمال إنشاء غطاء ثلجي مستقر في منطقة معينة اعتبارًا من أكتوبر هو 0.1. حدد احتمالية إنشاء غطاء ثلجي مستقر في هذه المنطقة خلال السنوات الثلاث المقبلة مرة واحدة على الأقل منذ أكتوبر.

45. تحديد احتمال أن يكون المنتج الذي تم اختياره عشوائياً من الدرجة الأولى إذا علم أن 4% من جميع المنتجات معيبة، و 75% من المنتجات غير المعيبة مستوفية لمتطلبات الدرجة الأولى.

46. ​​اثنان من الرماة، الذين تبلغ احتمالات إصابة الهدف بالنسبة لهم 0.7 و 0.8 على التوالي، يطلقون طلقة واحدة لكل منهم. تحديد احتمال إصابة واحدة على الأقل بالهدف.

47. احتمال وقوع حدث ما في كل تجربة هو نفسه ويساوي 0.2. يتم تنفيذ التجارب بشكل تسلسلي حتى وقوع الحدث. حدد احتمال قيامك بالتجربة الرابعة.

48. احتمال أن يكون الجزء المنتج على الآلة الأولى من الدرجة الأولى هو 0.7. وعند تصنيع نفس الجزء على جهاز آخر، يكون هذا الاحتمال 0.8. أنتجت الآلة الأولى جزأين، والثانية ثلاثة. أوجد احتمال أن تكون جميع الأجزاء من الدرجة الأولى.

49. يمكن أن يحدث انقطاع في الدائرة الكهربائية عندما يفشل عنصر أو عنصرين، يفشلان بشكل مستقل عن بعضهما البعض، على التوالي، باحتمالات 0.3؛ 0.2 و 0.2. تحديد احتمال انقطاع الدائرة الكهربائية.

50. توقف تشغيل الجهاز بسبب عطل مصباح واحد من أصل 10. يتم العثور على هذا المصباح عن طريق استبدال كل مصباح بآخر جديد واحدًا تلو الآخر. أوجد احتمال فحص 7 مصابيح إذا كان احتمال تعطل كل مصباح يساوي 0.1.

51. احتمال أن يتجاوز الجهد في الدائرة الكهربائية القيمة الاسمية هو 0.3. عند زيادة الجهد، فإن احتمال وقوع حادث لجهاز يستهلك تيارًا كهربائيًا هو 0.8. تحديد احتمالية فشل الجهاز بسبب زيادة الجهد.

52. احتمال إصابة الهدف الأول لمطلق النار هو 2/3. إذا تم تسجيل الضربة في اللقطة الأولى، فإن مطلق النار يحصل على الحق في إطلاق النار على هدف آخر. احتمال إصابة كلا الهدفين بطلقتين هو 0.5. تحديد احتمال إصابة الهدف الثاني.

53. بمساعدة ست بطاقات، مكتوب عليها حرف واحد، تتكون كلمة "عربة". يتم خلط البطاقات ثم إزالتها واحدة تلو الأخرى. ما احتمال أن تكون كلمة "صاروخ" بالترتيب الذي تظهر به الحروف؟

54. لقد نسي المشترك الرقم الأخير من رقم الهاتف ولذلك قام بالاتصال به بشكل عشوائي. حدد احتمالية أنه لن يضطر إلى الاتصال بأكثر من ثلاثة أماكن.

55. يمكن أن يحدث كل من الأحداث الأربعة غير المتوافقة على التوالي باحتمالات 0.012؛ 0.010؛ 0.006 و 0.002. حدد احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث نتيجة للتجربة.

56. ما هو احتمال رسم شخصية من أي بدلة أو بطاقة البستوني من مجموعة مكونة من 52 ورقة (يسمى هذا الرقم جاك أو ملكة أو ملك)؟

57. يحتوي الصندوق على 10 عملات معدنية فئة 20 كوبيل، و5 عملات معدنية فئة 15 كوبيل. وعملتين من فئة 10 كوبيل. يتم أخذ 6 عملات معدنية بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يزيد المجموع عن روبل واحد؟

58. توجد كرات في جرتين: في الأولى 5 كرات بيضاء، و11 سوداء، و8 حمراء، وفي الثانية 10، و8، و6، على التوالي، يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من كلا الجرتين. ما هو احتمال أن تكون الكرتان بنفس اللون؟

59. احتمال قيام رياضي معين بتحسين نتيجته السابقة في محاولة واحدة هو 0.4. حدد احتمال أن يقوم الرياضي بتحسين نتيجته في المنافسة إذا سمح له بمحاولتين.

الخيار 9

1. تحتوي كل بطاقة من البطاقات الستة المتطابقة على أحد الأحرف التالية: o، g، o، r، o، d. تم خلط البطاقات جيدًا. أوجد احتمال أنه من خلال وضعها في صف واحد، سيكون من الممكن قراءة كلمة "حديقة نباتية".

2. احتمال قيام رياضي معين بتحسين نتيجته السابقة في محاولة واحدة هو 0.6. أوجد احتمال أن يقوم الرياضي بتحسين نتيجته في المنافسة إذا سمح له بالقيام بمحاولتين.

3. يحتوي الصندوق الأول على 20 قطعة، منها 15 قطعة قياسية؛ في الثانية - 30 جزءًا، منها 24 معيارًا؛ في الثالث هناك 10 أجزاء، 6 منها قياسية. أوجد احتمال أن يكون الجزء المأخوذ عشوائيًا من صندوق مأخوذ عشوائيًا هو الجزء القياسي.

4. حل المشكلات باستخدام صيغة برنولي ونظرية Moivre-Laplace: أ) عند إرسال رسالة، يكون احتمال تشويه حرف واحد هو 0.24. تحديد احتمالية ألا تحتوي الرسالة المكونة من 10 أحرف على أكثر من 3 تحريفات؛

ب) تم زراعة 400 شجرة. احتمال أن تتجذر شجرة فردية هو 0.8. أوجد احتمال أن يكون عدد الأشجار الباقية: 1) 300؛ 2) أكثر من 310 ولكن أقل من 330.

5. باستخدام البيانات الجدولية، قم بحساب التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X، وكذلك تحديد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أكبر من المتوقع.

6. يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بواسطة دالة التوزيع

البحث عن: أ) المعلمة ك؛ ب) التوقع الرياضي. ج) التشتت.

7. تجري منظمة اجتماعية دراسة استقصائية لموظفي المؤسسة من أجل تحديد موقفهم من إعادة التنظيم الهيكلي التي تجريها إدارة المؤسسة. بافتراض أن نسبة الأشخاص الراضين عن التحولات الهيكلية موصوفة بقانون التوزيع الطبيعي مع المعلمات a = 53.1% و σ = 3.9%، أوجد احتمال أن تكون نسبة الأشخاص الراضين عن التحولات أقل من 50%.

8. تم استخراج عينة من عموم السكان، والتي تم تقديمها في شكل سلسلة تباين الفاصل الزمني (انظر الجدول): أ) بافتراض أن عموم السكان لديه توزيع طبيعي، قم ببناء فاصل ثقة للتوقع الرياضي بثقة احتمال γ = 0.95؛ ب) حساب معاملات الانحراف والتفرطح باستخدام طريقة مبسطة، ووضع الافتراضات المناسبة حول شكل دالة التوزيع للسكان؛ ج) باستخدام معيار بيرسون، اختبر الفرضية حول الحالة الطبيعية لتوزيع السكان عند مستوى دلالة α = 0.05.

9. بالنظر إلى جدول ارتباط القيم X و Y: أ) حساب معامل الارتباط r xy، استخلاص استنتاجات حول العلاقة بين X و Y؛ ب) العثور على معادلات الانحدار الخطي لـ X على Y وY على X، وكذلك إنشاء الرسوم البيانية الخاصة بها.